Departamento de Matemáticas TRIGONOMETRÍA Mª Pilar López Departamento de Matemáticas IES “Goya”

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD. TEOREMA DEL SENO

SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS Dibujamos el ángulo α y a continuación el ángulo β. Trazamos BD perpendicular a OB y obtenemos el triángulo rectángulo OBD de hipotenusa 1. D C O X Y Tenemos el ángulo α + β en el triángulo rectángulo OA’D. Trazamos una paralela a A’D por B y una perpendicular a A’D por D obteniendo dos triángulos rectángulos semejantes: BCD y OAB. Considerando el triángulo OA’D, tenemos: 1 Considerando el triángulo OBD, tenemos: a Considerando el triángulo OAB, tenemos: B a a+b b Y considerando el triángulo BCD, tenemos: A’ A Sustituyendo en (*) tenemos:

COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS 1 φ 90- φ sen φ = cos(90- φ) cos φ = sen(90- φ) 1

TANGENTE DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS Si dividimos numerador y denominador por cosα.cosβ Simplificando

R.T. DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS 1

R.T. DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS

R.T. DEL ÁNGULO DOBLE

R.T. DEL ÁNGULO MITAD

TEOREMA DEL SENO Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. El Teorema del seno sirve para relacionar los lados de un triángulo con los ángulos opuestos. C B A a b c Consideremos un triángulo ABC. Trazamos la altura correspondiente al vértice C. Los triángulos AHC y BHC son rectángulos. Entonces: hC hA H Del mismo modo, si trazamos la altura correspondiente al vértice A:

Medida de los ángulos en una circunferencia Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente A a+b O a b 2(a+b) 180º-2 a 180º-2b O a 2(a+b) g 2 g B b C 360º-(180º-2 a+180º-2 b)= =360º - 360º + 2 a+2 b = = 2 a+2 b = 2 (a+ b)

Medida de los ángulos en una circunferencia Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales 90º g 2g 180º Todos los ángulos inscritos que abarcan un diámetro, son rectos.

Consecuencia del TEOREMA DEL SENO Consideremos un triángulo ABC y R el radio de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. A a C B R A’ Trazamos el diámetro A’C y unimos A’ con B. El triángulo A’BC es rectángulo (Todo ángulo que abarca un diámetro es recto). Aplicando el teorema del seno al triángulo A´BC tenemos Los ángulos A y A’ son iguales (Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco, BC, son iguales). Luego: La constante de proporcionalidad entre los lados de un triángulo y los senos de los ángulos opuestos es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

Consecuencia del TEOREMA DEL SENO Área de un triángulo El área del triángulo ABC es: hC C B A a b c H En el triángulo ABC, la base es c. Si trazamos la altura hC desde el vértice C: El triángulo ABC queda dividido en dos triángulos rectángulos. En el triángulo AHC : Sustituyendo en la primera expresión:

Consecuencia del TEOREMA DEL SENO Área de un triángulo Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de radio R. La superficie del triángulo ABC es: C B A a b c R Por el Teorema del seno : Sustituyendo en la primera expresión:

El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo correspondiente. TEOREMA DEL COSENO Trazamos la altura, h, desde C en el triángulo ABC: Aplicando el Tª de Pitágoras en el triángulo BHC: C B A a b c (Aplicando Pitágoras en AHC: b2=m2+h2) h m c-m H Como en AHC m = b . cos A, tenemos Análogamente (trazando las otras alturas) obtendríamos: 16