MATRICES U.D. 1 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

SISTEMAS DE ECUACIONES U.D. 1.1 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto formado por m igualdades de la forma: donde b1, b2, b3,…son los términos independientes del sistema. Un sistema homogéneo es aquel cuyos términos independientes son todos ceros. Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones. Son soluciones todo conjunto de valores de x que al ser sustituidos en las ecuaciones convierten a éstas en identidades. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Sistemas equivalentes Una combinación lineal de varias ecuaciones es otra ecuación que resulta de multiplicarlas por números distintos de cero y sumarlas. Dos sistemas de ecuaciones lineales con las mismas incógnitas son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Para hacer un sistema equivalente a otro se pueden hacer una o varias de las siguientes operaciones: Se multiplica una ecuación por un número. Se cambia el orden de las ecuaciones. Se añade o se suprime una ecuación que sea combinación lineal de otras. Se suma o resta a una ecuación otra multiplicada por un número. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Ejemplos Indicar por qué son equivalentes los siguientes sistemas: El sistema: Es equivalente a: 3x + y/4 = 5 12x + y = 20 2.x – y = 3 2x – y = 3 3x + 5y = 5 x – y = 3 x – y = 3 3x + 5y = 5 x + 2y = 5 x + 2y = 5 3x + y = 8 2.x – y = 3 5x + 5y = 18 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Clasificación CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES DETERMINADOS Solución (0,0,…0) HOMOGÉNEOS Todos los b =0 COMPATIBLES Tienen solución INDETERMINADOS Infinitas soluciones SISTEMAS DETERMINADOS Solución única COMPATIBLES Tienen solución NO HOMOGÉNEOS Algún b<>0 INDETERMINADOS Infinitas soluciones INCOMPATIBLES No tienen solución @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Soluciones gráficas Sea el sistema: x + y = 2 x – 2.y = 8 2.x – y = 10 La tercera ecuación es la suma de las dos anteriores. Solución: x = 4 , y = - 2 Sistema Compatible y determinado. Gráficamente las tres rectas se cortan en el punto P(4, – 2) 2 4 2 4 8 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. SISTEMAS Y SOLUCIONES SISTEMAS Y SOLUCIONES Soluciones gráficas Sea el sistema: x + y = 2 x – 2.y = 8 2.x – y = 4 Solución: Sistema Incompatible. Gráficamente las tres rectas se cortan dos a dos, pero no poseen ningún punto común. 2 4 2 4 8 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. SISTEMAS ESCALONADOS Sea el sistema de orden dos: ax + by = c b’y =c’ Sea el sistema de orden tres: ax + by + cz = d b’y + c’z =d’ c”z =d” Ambos sistemas se llaman escalonados, puesto que resolviendo consecutivamente las ecuaciones de abajo hacia arriba nos permiten fácilmente deducir el valor de cada incógnita, siempre que el sistema sea compatible y determinado. Otra ventaja de dicha estructura es poder ver rápidamente si el sistema es o no compatible. Todos los sistemas se pueden convertir en sistemas equivalentes escalonados. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. SISTEMAS ESCALONADOS SISTEMAS ESCALONADOS EJEMPLO_1 3x + 5y = 13 (1) 2y = 4 (2) De la (2)  y = 4/2=2 En la (1)  3x + 10 = 13  3x = 3  x = 1 EJEMPLO_2 4x + y + 7z = - 6 (1) 2y + 3z = – 1 (2) 5z = – 5 (3) De la (3)  z = – 5 / 5 = – 1 En la (2)  2y – 3 = – 1  2y = 2  y = 1 En la (3)  4x + 1 – 7 = – 6  4x = 0  x = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. TRANSFORMACIÓN Sea el sistema de orden dos: ax + by = c (1) a’x + b’y = c’ (2) Para transformar el sistema dado en otro equivalente de forma escalonado se procederá en dos pasos: 1º.- Dividir la (1) entre el valor de “a”. Quedará: x + my = n (1) a’x + b’y = c’ (2) 2º.- A la ecuación (2) la restamos la (1) multiplicada por “a’”. Quedará ya escalonado: x + my = n (1) py = q (2) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. TRANSFORMACIÓN TRANSFORMACIÓN Ejemplo_1 Sea el sistema de orden dos: 2x – 4y = 10 (1) 3x + 7y = - 11 (2) 1º.- Divido la (1) entre 2: x – 2y = 5 (1) 3x + 7y = - 11 (2) 2º.- A la ecuación (2) la restamos la (1) multiplicada por 3: x – 2y = 5 (1) 13y = - 26 (2) Y queda escalonado. Resolviendo el sistema: y = - 2  x = 5+2y = 5 – 4 = 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.