DERIVADAS PARCIALES “EPSILON” Griselda Casas Pablo Estrada Ulises Perez Oscar Ruiz Carlos Acosta

I = f (T, H) H T 50 55 60 65 70 75 80 85 90 96 98 100 103 106 109 112 115 119 92 105 108 123 128 94 104 107 111 114 118 122 127 132 137 113 116 121 125 130 135 141 146 133 138 144 150 157 124 129 148 154 161 168

I se puede escribir como: I = f (T, H) I se puede escribir como: g (T)= f (T, 70) La temperatura varía La humedad relativa (H) es constante = 70

CuandoTemperatura = 96 ° F; . H T 50 55 60 65 70 75 80 85 90 96 98 100 103 106 109 112 115 119 92 105 108 123 128 94 104 107 111 114 118 122 127 132 137 113 116 121 125 130 135 141 146 133 138 144 150 157 124 129 148 154 161 168 g (T)= f (T, 70) g (96)= f (96, 70)

I aumenta 3.75°F por cada °F de la temperatura real g’ (96)= 3.75 I aumenta 3.75°F por cada °F de la temperatura real . H T 50 55 60 65 70 75 80 85 90 96 98 100 103 106 109 112 115 119 92 105 108 123 128 94 104 107 111 114 118 122 127 132 137 113 116 121 125 130 135 141 146 133 138 144 150 157 124 129 148 154 161 168

I = f (T, H) I se puede escribir como: G (H)= f (96, H) La humedad relativa (H) varía La temperatura es constante = 96 ° F

Cuando la Humedad es 70% G’(H)= f (96, H) G’ (70)= f (96, 70) = T 50 55 60 65 70 75 80 85 90 96 98 100 103 106 109 112 115 119 92 105 108 123 128 94 104 107 111 114 118 122 127 132 137 113 116 121 125 130 135 141 146 133 138 144 150 157 124 129 148 154 161 168 G’(H)= f (96, H) G’ (70)= f (96, 70) = Si h = 5 Si h = -5

I aumenta 0.9 ° F por cada porcentaje que la humedad se incrementa 50 55 60 65 70 75 80 85 90 96 98 100 103 106 109 112 115 119 92 105 108 123 128 94 104 107 111 114 118 122 127 132 137 113 116 121 125 130 135 141 146 133 138 144 150 157 124 129 148 154 161 168 G’ (70)= 0.9 I aumenta 0.9 ° F por cada porcentaje que la humedad se incrementa

La razón de cambio del índice de calor I con respecto a la temperatura T y la humedad H, para T = 96 ° F, y H = 70%

Derivada parcial de f con respecto a x en (a, b) fx(a,b) = g’(a) donde g(x) = f(x,b) Derivada con respecto a x Derivada con respecto a y

Notaciones para derivadas parciales

Ejemplo 1 Si f (x,y) = x3 + x2y3 - 2y2, encuentre fx(2,1) y fy(2,1)

Ejemplo 2 Si f (x,y) = 4 - 4x2 - 2y2, calcule fx(1,1) y fy(1,1)

Funciones de dos o más variables Es posible también, definir derivadas parciales para funciones de dos o más variables. Por ejemplo la derivada parcial de la función f(x,y,z) con respecto a x se define como: Lo anterior se calcula considerando a z y a y como constantes. Si w=f(x,y,z) entonces se interpreta como la razón de cambio de w con respecto a x cuando z y y permanecen constantes.

La definición anterior se puede generalizar para una funciones de n-ésimas variables. Si u es una función de n variables u=f(x1,x2,…,xn), su derivada parcial con respecto a la i-ésima variable xi es

Existen varias formas de expresar lo anterior:

Derivadas de Orden Superior Si f es una funcion de dos variables, sus derivadas fx y fy tambien son funciones de dos variables. (fx)x, (fx)y, (fy)x, (fy)y se denomina segundas derivadas de f. si z=f(x,y) se utiliza la siguiente notacion.

(fx)x = d2z/dx2 (fx)y = d2z/dydx (fy)x = d2z/dxdy (fy)y = d2z/dy2 fxy=fyx para la mayoria de las funciones. Esto se demuestra con el teorema de Clairaut: fxy(a,b) = fyx(a,b)

Halle las derivadas parciales indicadas

Ejercicio 11.3.65 Si le dijera que existe una función cuyas derivadas parciales son fx(x,y)= x + 4y y fy(x,y) = 3x – y y cuyas derivadas parciales de segundo orden son continuas, ¿usted lo creeria?

APLICACIONES - Ecuación de Laplace y Ecuación de Onda - Movimiento Ondulatorio “Ecuacion de Onda Viajera”

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Las derivadas parciales se presentan en las ecuaciones diferenciales parciales que expresan ciertas leyes físicas: Ecuacion de Laplace: La ecuación de Laplace describe siempre procesos estacionarios en los que el tiempo no es una de las variables independientes. Ecuacion de Onda:

EJEMPLOS Ejemplo No. 1 . Probar que la función: u (x,y) = e^x sen y Es una solución para la ecuación de Laplace Ejemplo No. 2 . Compruebe que la función: u (x, t) = sen (x - at) satisface la ecuación de la onda.

¿Qué fenómenos describen las ondas viajeras?

La posición de una particula esta definida por la distancia a la que se encuentra del origen, y el tiempo en el que esta oscilando

De donde: y es su posición A es su amplitud k es el numero de oda angular w es la frecuencia angular x y t son las variables de las cuales depende la posición y de la partícula Ø es el angulo de fase T y  son periodo y longitud de la onda http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/ondaArmonica/ondasArmonicas.html

Posición, velocidad y aceleración de propagación de onda en “x” Posición respecto al origen Velocidad de propagación Aceleración en dirección x v y a son constantes conocidas, y la posición x respecto al origen esta definida para encontrar las posición de una partícula y=f(x,t)

Posición, velocidad y aceleración de una partícula en “y” Posición respecto al origen en “y” Velocidad de una partícula en “y” Aceleración de una partícula en “y”

¿Cuál es la posición, velocidad y aceleración de una partícula que se encuentra en una cuerda que esta oscilando con una frecuencia de 1Hz con una velocidad de propagación de 2m/s y una Amp. de 0.5m? Cuando x = 3m y t = 1 segundos Primero requerimos los valores de k y w 1 2 3 4 5 6 7 8

Por lo tanto nuestra ecuación de onda es: Y la posición en x = 3m y t = 1 segundos Con este resultado nos damos cuenta de que la posición de la partícula esta dado por la coordenada:

Su velocidad en x es 2, y su velocidad en y esta dada por: Por lo tanto su velocidad en x = 3m y t = 1 segundo es: La velocidad neta es entonces:

Su aceleración en x es 0, y su aceleración en y esta dada por: Por lo tanto su aceleración en x = 3m y t = 1 segundo es: La aceleración neta es: