POTENCIAS Y RADICALES U. D. 2 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

RADICALES U. D. 2.4 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

RADICALES EXPRESIÓN RADICAL n = índice n √ a = r r = raíz a = radicando n n √ a = r si se verifica que r = a, siendo n > 1 un número natural. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

RADICALES Ejemplos Índice par y radicando positivo √ 4 = 2 y -2, pues 22 = 4 y (-2)2 = 4 Índice par y radicando negativo 4 4 √ -16 = No hay, pues no existe r tal que r = - 16 Índice impar 3 √ 8 = 2 , pues 23 = 8 √ - 8 = - 2 , pues (- 2)3 = - 8 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Error máximo de un radical Sea el número √20 √ 20 = 4,4721 Aproximación por DEFECTO: 42 = 16 4,42 = 19,36 4,472 = 19,9809 Aproximación por EXCESO: 52 = 25 4,52 = 20,25 4,482 = 20,0704 Error máximo cometido: 25 – 16 = 9 20,25 – 19,36 = 0,89 20,0704 – 19,9809 = 0,0895 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Error máximo de un radical Otro ejemplo Sea el número √35 √ 35 = 5,9160 Aproximación por DEFECTO: 52 = 25 5,92 = 34,81 5,912 = 34,9281 Aproximación por EXCESO: 62 = 36 62 = 36 5,922 = 35,0464 Error máximo cometido: 36 – 25 = 11 36 – 34,81 = 1,19 35,0464 – 34,9281 = 0,1183 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PROPIEDAD FUNDAMENTAL Si se multiplica o divide el índice y el exponente del radicando por un mismo número distinto de 0, la raíz no varía. Ejemplos: 4 3.4 12 √ 2 8 = [ Multiplicamos por 3 ] = √ 2 3.8 = √ 2 24 4 4/2 √ 2 8 = [ Dividimos entre 2 ] = √ 2 8 / 2 = √ 2 4 = √ 2 4 4 12 √ 2 4 = √ 2 8 = √ 2 24  2 4 / 2 = 2 8 / 4 = 2 24 / 12 Nota: Cuando el índice, n, es 2 se omite su escritura. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

RADICALES Y POTENCIAS Una potencia fraccionaria es igual a un radical que tiene por índice el denominador de la fracción, y por radicando, la base elevada al numerador: n Luego a m/n = √ am Ejemplos 3 5/2 = √ 35 5 5 5 3 - 3/5 = √ 3 -3 = √ (1 / 33 )= 1 / √ 33 7 7 7 (-3) 5/7 = √ (-3)5 = √ - 35 = - √ 35 (-2/3)(-3/2) = √ (-2/3)-3 = √ (-3/2)3  No es real @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

OPERATIVIDAD Producto de potencias de igual base. 3 5 1/3 1/5 (1/3+1/5) 8 / 15 √ 2 . √ 2 = 2 . 2 = 2 = 2 División de potencias de igual base. 3 5 1/3 1/5 (1/3 - 1/5) 2 / 15 √ 7 : √ 7 = 7 : 7 = 7 = 7 Producto de bases con igual exponente. 3 3 1/3 1/3 1/3 1/ 3 √ 7 . √ 5 = 7 . 5 = (7.5) = 35 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

OPERATIVIDAD División de bases con igual exponente. 3 3 1/3 1/3 1/3 1/ 3 √ 7 : √ 5 = 7 : 5 = (7:5) = (7 / 5) Potencia de potencia 3 6 √ (√ 25 ) = [(25 )1/2]1/3 = 25.(1/2).(1/3) = 25/6 = √ 25 Pues sabemos que la potencia de otra potencia es otra potencia de igual base y de exponente el producto de los exponentes. Análogamente hemos visto en el ejemplo que hallar la raíz de otra raíz equivale a una única raíz que tiene por índice el producto de los índices. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

ORDENACIÓN DE RADICALES Para ORDENAR RADICALES de mayor a menor o viceversa, deben tener el mismo índice o el mismo radicando. Si no es así, siempre podemos conseguir que tengan el mismo índice mediante radicales equivalentes. Ejemplo 3 7 √ 2 y √ 5  No se pueden ordenar sin hacer índices comunes. PROCEDIMIENTO EN ESTE CASO: HALLAR RADICALES EQUIVALENTES 7.3 7 3.7 3 21 7 21 3 21 21 √ 2 y √ 5  √ 2 y √ 5  √ 128 y √ 125 Y ahora sí que podemos ordenarlos al tener el mismo índice. Pues a igualdad de índices es mayor quien tenga mayor radicando. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ordenación de radicales CASO DE TENER EL MISMO ÍNDICE: Será menor el que tenga menor radicando. Ejemplo 3 3 3 3 √ 2 y √ 5  √ 5 > √ 2 , pues 5 > 2. CASO DE TENER EL MISMO RADICANDO: Será mayor el que tenga menor índice. 3 5 1 / 3 1 / 5 √ 2 y √ 2  2 > 2 , pues 1/3 > 1/5  5/15 > 3/15 15 5 15 3 5 / 15 3 / 15 √ 2 > √ 2  2 > 2 Pregunta ¿Qué número es mayor: Raíz cuadrada de 0,5 o raíz cúbica de 0,5? @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.