Apuntes de Matemáticas 3º ESO U.D. 7 * 3º ESO E.AC. PROGRESIONES @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS U.D. 7.4 * 3º ESO E.AC. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Progresiones geométricas Es una sucesión en la cual cualquier término es igual al anterior multiplicado por una constante, r , llamada RAZÓN . a = a , a , a , a , .... , a , ..., a , a n 1 2 3 4 k n‑1 n Deducimos la fórmula principal: a = a 1 1 a = a . r 2 1 2 a = a . r = a . r 3 2 1 3 4 3 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO ……………... n-1 a = a . r = a . r n n‑1 1 O sea: n‑1 a = a . r n 1 De ella se despeja en caso necesario a , d o n. 1 n-1 n-1 a = a / r ,, r = √ (a / a ) 1 n n 1 n = Aplicando logaritmos ( 4º ESO) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO_1 En una PG el primer término vale 5 y la razón 2. Hallar el término séptimo y el término duodécimo. Tenemos: n-1 a = a . r n 1 De donde: 7-1 6 a = a . 2 = 5 . 2 = 5 . 64 = 320 7 1 12-1 11 a = a . 2 = 5 . 2 12 1 La PG sería: a = 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, … n @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO_2 En una PG el primer término vale 5 y el quinto vale 125. Hallar la razón. Tenemos: n-1 a = a . r n 1 De donde: 5-1 4 4 4 a = a . r ,, 125 = 5 . r ,, 25 = r ,, r = √ 25 = √ 5 5 1 La PG sería: a = 5, 5 √ 5, 25, 25 √ 5 , 125, … n @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO_3 En una PG el noveno término vale 10 y la razón vale 5. Hallar el primer término. Tenemos: n-1 a = a . r n 1 De donde: 9 -1 8 7 -7 a = a / 5 = 10 / 5 = 2 / 5 = 2. 5 1 9 La PG sería: -7 - 6 -5 a = 2. 5 , 2.5 , 2.5 , … n @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO_4 El producto de tres términos consecutivos de una PG vale 27 y la razón es 5/4. Hallar la progresión. Tenemos: n-1 a = a . r n 1 Con los datos dados no podemos utilizar la fórmula. P = a(n – 1). an. a(n + 1) = (an/ r ). an. ( r.an ) = an3 27= an3  an = 3 a(n – 1) = an / r = 3 / (5/4) = 12 / 5 = 2,40 a(n + 1) = r. an = (5/4).3 = 15/4 = 3,75 La PG sería: a = 2,40 , 3 , 3,75 n @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO_6 El séptimo término de una PG vale 125 y el quinto término vale 5. Hallar la progresión. Tomamos dos veces la ecuación: De donde: 7-1 6 a7 = a1 .r  125 = a1 . r  Ecuación (1) 5-1 4 a5 = a1 r  5 = a1 . r  Ecuación (2) 4 De la (2) despejo a1 a1 = 5 / r , y sustituyo en la (1); 4 6 6-4 2 2 125 = (5 / r ). r = 5 . r = 5.r  25 = r  r = +/- 5 4 3 - 3 De donde a1 = 5 / r = 5 / 625 = 1 / 125 = 1 / 5 = 5 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO