LIMITE DE FUNCIONES DE VALOR REAL MAGISTER : DANIEL SAENZ CONTRERAS CANDIDATO A DOCTOR EN EDUCACION

Concepto Sea la función definida por 𝑓 𝑥 =3 𝑥 2 −4 Evaluar la función para valores de la variable x, cercanos a 1 Para ello consideremos la siguiente tabla de valores Observamos que cuando x tiende a 1 por la izquierda x f(x) 0,5 0,6 0,7 0,99 0,999 0,8 0,9 −1,005997 −3,25 −2,92 −2,53 −2,08 −1,57 −1,0597 Los valores de f(x) se aproximan cada vez mas a -1

Lo anterior se lee de la siguiente manera El limite de la función 𝑓 𝑥 =3 𝑥 2 −4, cuando la variable x tiende a 1 por la izquierda es igual a menos uno, y se escribe lim 𝑥→ 1 − 3 𝑥 2 −4 =−1 Ahora, miremos que sucede cuando la variable x tiende a 1 por la derecha Observamos que cuando x tiende a 1 por la derecha x f(x) 1,005 1,05 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 −0,9699 −0,6925 2,75 3,68 4,67 5,72 6,83 Los valores de f(x) se aproximan cada vez mas a -1

Lo anterior se lee de la siguiente manera El limite de la función 𝑓 𝑥 =3 𝑥 2 −4, cuando la variable x tiende a 1 por la derecha es igual a menos uno, y se escribe lim 𝑥→ 1 + 3 𝑥 2 −4 =−1 Como los valores de la función se acercan cada vez mas al numero -1, cuando la variable x se aproxima a uno bien sea por la derecha o por izquierda, entonces se dice que el limite de la función cuando x tiende a 1 es igual a -1, y se escribe lim 𝑥→1 3 𝑥 2 −4 =−1

Concepto 𝑓 𝑥 = 2𝑥+1 3𝑥−2 x f(x) 1,7 1,8 1,9 1,9999 1,99999 1,99 1,999 Sea la función definida por 𝑓 𝑥 = 2𝑥+1 3𝑥−2 Evaluar la función para valores de la variable x, cercanos a 2 Para ello consideremos la siguiente tabla de valores Observamos que cuando x tiende a 2 por la izquierda x f(x) 1,7 1,8 1,9 1,9999 1,99999 1,99 1,999 1,250004 1,4193 1,3552 1,2972 1,2544 1,2504 1,25004 Los valores de f(x) se aproximan cada vez mas a 1,25

lim 𝑥→ 2 − 2𝑥+1 3𝑥−2 =1,25 Lo anterior se lee de la siguiente manera El limite de la función𝑓 𝑥 = 2𝑥+1 3𝑥−2 , cuando la variable x tiende a 2 por la izquierda es igual a 1,25 y se escribe lim 𝑥→ 2 − 2𝑥+1 3𝑥−2 =1,25 Ahora, miremos que sucede cuando la variable x tiende a 1 por la derecha Observamos que cuando x tiende a 2 por la derecha x f(x) 2,00001 2,0001 2,001 2,01 2,1 2,2 2,3 1,249999 1,2499 1,2495 1,245 1,2097 1,17 1,1428 Los valores de f(x) se aproximan cada vez mas a 1,25

lim 𝑥→2 2𝑥+1 3𝑥−2 =1,25 lim 𝑥→ 2 + 2𝑥+1 3𝑥−2 =1,25 Lo anterior se lee de la siguiente manera El limite de la función𝑓 𝑥 = 2𝑥+1 3𝑥−2 , cuando la variable x tiende a 2 por la derecha es igual a 1,25, y se escribe lim 𝑥→ 2 + 2𝑥+1 3𝑥−2 =1,25 Como los valores de la función se acercan cada vez mas al numero 1,25, cuando la variable x se aproxima a 2 bien sea por la derecha o por izquierda, entonces se dice que el limite de la función cuando x tiende a 2 es igual a 1,25, y se escribe lim 𝑥→2 2𝑥+1 3𝑥−2 =1,25

DEFINICION INTUITIVA DE LIMITE Sea 𝑓(𝑥) una función de valor real, si los valores de la función 𝑓(𝑥) se hacen arbitrariamente próximos a un único valor 𝐿, cuando la variable 𝑥 se aproxima hacia una numero 𝑎, tanto por la derecha como por la izquierda, se dice que función 𝑓(𝑥) tiene limite 𝐿 cuando 𝑥 tienda al valor 𝑎, y se escribe lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) =𝐿

lim 𝑥→ 2 − 𝑓 𝑥 =1 ≠ lim 𝑥→ 2 + 𝑓 𝑥 =3 lim 𝑥→2 𝑓 𝑥 =𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

lim 𝑥→ 1 − 𝑓 𝑥 =3 = lim 𝑥→ 1 + 𝑓 𝑥 =3 lim 𝑥→1 𝑓 𝑥 =3

lim 𝑥→𝑎 𝑘 =𝑘 lim 𝑥→3 5 =5 lim 𝑥→0 2 =2 lim 𝑥→−2 3 =3 Limites básicos 1. El limite de la función constante 𝑓 𝑥 =𝑘 cuando la variable 𝑥 tiende al valor de 𝑎, es igual a la misma constante 𝑘. lim 𝑥→𝑎 𝑘 =𝑘 ejemplos lim 𝑥→3 5 =5 lim 𝑥→0 2 =2 lim 𝑥→−2 3 =3

lim 𝑥→𝑎 𝑥 =𝑎 lim 𝑥→3 𝑥 =3 lim 𝑥→0 𝑥 =0 lim 𝑥→2 𝑥 =2 Limites básicos 2. El limite de la función identidad 𝑓 𝑥 =𝑥 cuando la variable 𝑥 tiende al valor de 𝑎, es igual al mismo valor 𝑎.. lim 𝑥→𝑎 𝑥 =𝑎 ejemplos lim 𝑥→3 𝑥 =3 lim 𝑥→0 𝑥 =0 lim 𝑥→2 𝑥 =2

lim 𝑥→𝑎 𝑥 𝑛 = 𝑎 𝑛 lim 𝑥→3 𝑥 2 = 3 2 =9 lim 𝑥→−2 𝑥 4 = (−2) 4 =16 Limites básicos 3. El limite de la función potencia𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑛 cuando la variable 𝑥 tiende al valor de 𝑎, es igual al mismo valor 𝑎 elevado a la potencia n.. lim 𝑥→𝑎 𝑥 𝑛 = 𝑎 𝑛 ejemplos lim 𝑥→3 𝑥 2 = 3 2 =9 lim 𝑥→−2 𝑥 4 = (−2) 4 =16

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES 1. El limite de una constante por una función, es igual al producto entre la constante y el limite de la función lim 𝑥→𝑎 (𝑘𝑓 𝑥 ) =𝑘 lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) Ejemplo lim 𝑥→3 (2𝑥) =2 lim 𝑥→3 𝑥 =2 3 =6 lim 𝑥→2 (4 𝑥 2 ) =4 lim 𝑥→2 𝑥 2 =4 2 2 =4(4)=16

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES 2. El limite de una función polinomica es igual a la suma de los limites de los sumandos lim 𝑥→𝑎 (𝑓 𝑥 +𝑔(𝑥)) = lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) + lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) Ejemplo lim 𝑥→3 (2𝑥+5) =2 lim 𝑥→3 𝑥 + lim 𝑥→3 5 =2 3 +5=6+5=11 lim 𝑥→−1 (3 𝑥 3 −4𝑥) =3 lim 𝑥→−1 𝑥 3 −4 lim 𝑥→−1 𝑥 =3 −1 +4=−3+4=1

lim 𝑥→𝑎 (𝑓 𝑥 ) 𝑛 = lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑛 3. El limite de la potencia de una función es igual a la potencia del limite de la función lim 𝑥→𝑎 (𝑓 𝑥 ) 𝑛 = lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑛 Ejemplo lim 𝑥→−2 3𝑥+4 2 = lim 𝑥→−2 (3𝑥+4) 2 = 3 lim 𝑥→−2 (𝑥)+ lim 𝑥→−2 (4) 2 = 3 −2 +4 2 = −6+4 2 = −2 2 =4

lim 𝑥→𝑎 (𝑓 𝑥 ∗𝑔(𝑥)) = lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ∗ lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 4. El limite del producto de dos funciones es igual al producto de los limites de las funciones siempre que estos limites existan lim 𝑥→𝑎 (𝑓 𝑥 ∗𝑔(𝑥)) = lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ∗ lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) Ejemplo lim 𝑥→1 ((2𝑥+1)∗ 3𝑥+1 ) = lim 𝑥→1 (2𝑥+1) ∗ lim 𝑥→1 3𝑥+1 = lim 𝑥→1 (2𝑥+1) ∗ lim 𝑥→1 (3𝑥+1) = (2 1 +1) 3 1 +1 = (3) 4 =3∗2=6

lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 5. El limite del cociente de dos funciones es igual al cociente de los limites de las funciones siempre que estos limites existan lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) Para este tipo de limites se tienen en cuenta las siguientes consideraciones 𝑠𝑒𝑎𝑛 lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 1 ; lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝐿 2

lim 𝑥→2 2𝑥+3 𝑥+2 = lim 𝑥→2 2𝑥+3 lim 𝑥→2 𝑥+2 5.1 si se verifica que 𝐿 1 ≠0 ; 𝐿 2 ≠0 lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝐿 1 𝐿 2 Entonces Ejemplo lim 𝑥→2 2𝑥+3 𝑥+2 = lim 𝑥→2 2𝑥+3 lim 𝑥→2 𝑥+2 = 2 2 +3 2+2 = 7 4

lim 𝑥→2 2𝑥−4 𝑥+2 = lim 𝑥→2 2𝑥−4 lim 𝑥→2 𝑥+2 5.2 si se verifica que 𝐿 1 =0 ; 𝐿 2 ≠0 lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 0 𝐿 2 =0 Entonces Ejemplo lim 𝑥→2 2𝑥−4 𝑥+2 = lim 𝑥→2 2𝑥−4 lim 𝑥→2 𝑥+2 = 2 2 −4 2+2 = 0 4 =0

lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝐿 1 0 =𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝐿 1 ≠0 ; 𝐿 2 =0 5.3 si se verifica que lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝐿 1 0 =𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 Entonces Ejemplo lim 𝑥→2 3𝑥−4 𝑥−2 = lim 𝑥→2 3𝑥−4 lim 𝑥→2 𝑥−2 = 3 2 −4 2−2 = 2 0 =𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜

lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 0 0 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 5.4 si se verifica que 𝐿 1 =0 ; 𝐿 2 =0 Entonces lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 0 0 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 Para este tipo de ejercicios, en los cuales nos aparece la forma indeterminada , se realizan operaciones algebraicas, antes de determinar el límite

5.4.1 limites de la forma 𝐿 1 =0 ; 𝐿 2 =0 lim 𝑥→2 2𝑥−4 𝑥 2 −4 lim 𝑥→2 2𝑥−4 𝑥 2 −4 = lim 𝑥→2 2(𝑥−2) (𝑥+2)(𝑥−2) Primero:Factorizamos = lim 𝑥→2 2 𝑥+2 Segundo:simplificamos = 2 2+2 = 2 4 = 1 2 Tercero: evaluamos el limite

5.4.2 limites de la forma 𝐿 1 =0 ; 𝐿 2 =0 lim 𝑥→2 2𝑥−4 𝑥 − 2 lim 𝑥→2 2𝑥−4 𝑥 2 −4 = lim 𝑥→2 (2𝑥−4)( 𝑥 + 2 ) ( 𝑥 − 2 )( 𝑥 + 2 ) Primero: Racionalizamos = lim 𝑥→2 (2𝑥−4)( 𝑥 + 2 ) ( 𝑥 ) 2 − ( 2 ) 2 Segundo: aplicamos productos notables = lim 𝑥→2 (2𝑥−4)( 𝑥 + 2 ) 𝑥−2 Tercero: propiedades de las potencias

= lim 𝑥→2 2(𝑥−2)( 𝑥 + 2 ) 𝑥−2 = lim 𝑥→2 2( 𝑥 + 2 ) 1 cuarto: factorizamos = lim 𝑥→2 2( 𝑥 + 2 ) 1 quinto: simplificamos = 2( 2 + 2 ) 1 =4 2 sexto: evaluamos el limite

5.4.2 limites de la forma 𝐿 1 =0 ; 𝐿 2 =0 lim 𝑥→2 2𝑥−4 𝑥 2 2 −2 lim 𝑥→2 2𝑥−4 𝑥 2 2 −2 = lim 𝑥→2 2𝑥−4 𝑥 2 −4 2 Primero: realizamos la suma en el denominador = lim 𝑥→2 2(2𝑥−4) 𝑥 2 −4 Segundo: propiedades de las fracciones = lim 𝑥→2 4(𝑥−2) (𝑥−2)(𝑥+2) Tercero: factorizamos

= lim 𝑥→2 4 𝑥+2 = 4 2+2 = 4 4 =1 cuarto: simplificamos quinto: evaluamos el limite

Desarrollo del pensamiento matemático Evaluar los siguientes limites lim 𝑥→4 2 𝑥 2 −7𝑥 2 lim 𝑥→−2 𝑥 2 −𝑥 2 2𝑥+3 lim 𝑥→2 3 3𝑥+2 lim 𝑥→−1 𝑥 2 −1 𝑥 3 +1 lim 𝑥→−1 3𝑥+4 2𝑥+3 lim 𝑥→2 𝑥 3 −8 𝑥 − 2

Desarrollo del pensamiento matemático Evaluar los siguientes limites lim 𝑥→1 1 𝑥+1 − 1 2 1 𝑥+3 − 1 4 lim 𝑥→4 𝑥 2 −𝑥−12 𝑥 2 −6𝑥+8 lim 𝑥→2 𝑥 2 +𝑥−6 𝑥 2 +2𝑥−8 lim 𝑥→1 𝑥 2 −1 𝑥 3 +1 lim 𝑥→3 𝑥+1 −2 𝑥 2 −𝑥+6 lim 𝑥→4 𝑥 3 −8 𝑥 −4

Referentes bibliográficos STEWART, JAMES. Calculo: conceptos y contextos. Thomson editores.. MEXICO LEITHOD, LOUIS, “El Calculo”, séptima edición. Editorial Harla.. México EDWARDS, C.H. Y D.E. PENNEY. Cálculo y Geometría Analítica. Cuarta edición. PHH. ico LARSON, HOSTETLER y Edwars. Cálculo y Geometría Analítica. Sexta Edición.. McGraw Hill. México TAKEUCHI. YU Sucesiones y Series. Tomo I y II. Editorial Limusa.. México STEFAN WANER, Calculo aplicado, segunda edición, México