Olimpiada Mátemática SAEM Thales Fase Provincial 09 de Marzo de 2019 Fase Regional 09 al 12 de Mayo de 2019

Problema nº 5: GEOMETRÍA Y ELEGANCIA Enrique es un buen matemático al que le gusta la geometría. Quiere partir un cuadrado de lado 1 en tres partes con la misma área como se muestra en la figura 1. ¿Qué valor debe dar a x para conseguirlo? Pero además le gusta la decoración y no encuentra elegante su construcción. Por ello decide suprimir la zona triangular inferior derecha, como indica la figura 2. ¿Podrá encontrar el valor de y que haga que en este caso los tres triángulos obtenidos tengan la misma área? En caso afirmativo, calcula ese valor y. Razona tus respuestas. Solución

Resolución del problema: 1ª Parte Como el cuadrado es de lado 1. Su área será 12 = 1 De la figura inicial, consideremos por ejemplo, este triángulo rojo. Área = Y como debían ser las tres áreas iguales, el área del triángulo rojo debe ser la tercera parte del área del cuadrado, es decir: SOLUCIÓN Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 5 Resolución 2ª parte Enunciado Pero además le gusta la decoración y no encuentra elegante su construcción. Por ello decide suprimir la zona triangular inferior derecha, como indica la figura 2. Figura 2 ¿Podrá encontrar el valor de y que haga que en este caso los tres triángulos obtenidos tengan la misma área? En caso afirmativo, calcula ese valor y. Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 5 Enunciado 1 Definimos la variable x que completa el lado del cuadrado y obtenemos la primera ecuación: x + y = 1 (1) Como en el problema anterior, cada triángulo tiene un tercio por área. El cuadrado que sabemos que tiene área 1, le restamos el área del triángulo que le falta a la figura. 1/3 1/3 1/3 X X Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 5 Enunciado El área del triángulo que falta es: Luego, el área de la figura 2 es: Luego el área de cada triángulo es : 1 X X (2) 3 Enunciado

= SOLUCIÓN del Problema 5 (3) (2) (3) Enunciado 1 3 Por otro lado, de la fórmula del área del triángulo obtenemos que el área es : Hemos obtenido el área de dos maneras distintas y podemos igualar con (3) (2) (3) X X = 3 Enunciado

= SOLUCIÓN del Problema 5 1 = 3 Hemos obtenido una ecuación con dos incógnitas, vamos a simplificarla: 1 X X x = 1 - y Ahora utilizaremos (1) para conseguir una ecuación de una incógnita: Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 5 Enunciado La ecuación resultante será: Tras eliminar paréntesis y transponer términos, conseguimos la ecuación: Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 5 Enunciado Resolvemos ahora la ecuación de segundo grado obteniendo los siguientes valores: Solo podemos aceptar el valor positivo porque las longitudes solo pueden ser positivas, siendo el primer valor, la solución del problema. Por tanto, el valor de y en la Figura 2, es: Enunciado

Resumen de las soluciones del problema SOLUCIÓN del Problema 5 Resumen de las soluciones del problema En el primer caso el valor de la x es: Si queremos obtener una figura más elegante entonces el valor de la y debe ser : Hemos encontrado las soluciones, pero ¿habrá más formas de conseguirlas? Enunciado

Olimpiada Mátemática SAEM Thales GRACIAS por vuestra atención