C soluciona el defecto algebraico de R de que existan ecuaciones polinómicas con coeficientes reales que no tienen soluciones reales. Ej. x = 0. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

Girolamo Cardano ( ) Ars Magna (1545) Considerada como la fecha de nacimiento de los números complejos. Resolución de ecuaciones de tercer y cuarto grado. “Divide 10 en dos partes, de modo que una por la otra dé 40.” x(10-x)=40 Solución “intrigante”.

Rafael Bombelli ( ) resolvió la situación operando como lo hacemos hoy con números complejos. Forma general de la ecuación cúbica y solución: Funcionaba bien en algunos casos, como: Pero en otros... : Cardano sabía que x = 4 es solución de esta ecuación.

René Descartes ( ) 60 años después de Bombelli: “A pesar de que podemos pensar que la ecuación x 3 - 6x x - 10 = 0 tiene tres raíces, únicamente una de ellas es real, la cual es 2, y las otras dos… son simplemente imaginarias.” René Descartes "La Géométrie" (1637)

“Los números imaginarios son un excelente y maravilloso refugio del Espíritu Santo, una especie de anfibio entre ser y no ser” Gottfried von Leibnitz (1.646 – 1.716) Otros términos que han sido usados para referirse a los números complejos incluyen : “Sofisticados”(Cardano) “Sin sentido” (Néper) “Inexplicables” (Girard) “Incomprensibles”(Huygens) “Imposibles” (Diversos autores)

“Estos números no son nada, ni menos que nada, lo cual necesariamente los hace imaginarios, o imposibles”. “formulam littera i …” Leonhard Euler (1777) Leonhard Euler (1.707 – 1.783) Con Euler los imaginarios se incorporan definitivamente en la Matemática. i 2 = -1; introdujo la notación binómica. Demostró que el conjunto de los números “imaginarios” era cerrado para las cuatro operaciones básicas, así como para la potenciación y la radicación.

Karl Friedrich Gauss ( ) “Números íntegros complexos” K. F. Gauss (1831) A los números enteros se han agregado las fracciones; a las cantidades racionales, las irracionales; a las positivas, las negativas; y a las reales, las imaginarias”. “¿Qué es un número complejo?” Gauss dio la respuesta satisfactoria definitiva en 1831 al establecer la interpretación geométrica: x+iy → (x,y).

Miguel de Guzmán ( ) “La visualización de los números reales mediante los puntos de una recta o de los números complejos mediante los puntos del plano no solamente penetró sin gran resistencia en el análisis, sino que se puede decir con razón que, en el caso de los números complejos, esta visualización (Argand, Gauss) fue lo que hizo posible vencer la fuerte oposición de la comunidad matemática al dar carta de ciudadanía a los números complejos”. El rincón de la pizarra: ensayos de visualización en análisis matemático.

Un número complejo z es un par ordenado de números reales a y b, escrito como: z = (a,b) (Notación en componentes o coordenadas cartesianas). a se llama la parte real de z: Re(z) := a b se llama la parte imaginaria de z: Im(z) :=b Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales e imaginarias son iguales: (x 1,y 1 ) = (x 2,y 2 ) sii x 1 = x 2, y 1 = y 2 El conjunto de números complejos, se denota por C

(0,1) se llama la unidad imaginaria y se denota por: Si a= 0, se dice que es un imaginario puro. Si b= 0, z se comporta como un número real. z = a + bi Un número complejo z = (a,b) se escribe comúnmente como : (Los ingenieros eléctricos a menudo usan “j” para evitar confusiones con el símbolo “i”, que asocian a la intensidad eléctrica). (notación algebraica o binómica, “afijo” en textos de antaño)

z = a + bi z = (a,b)

El plano complejo (Plano z, de Argand o de Gauss) Eje real Eje imaginario z = (x,y)

Ejemplo: Dibujar el número complejo z = -3-2i en el plano complejo

conjugado El conjugado de un número complejo z = x + i y se define como: Gráficamente el conjugado es una reflexión respecto al eje real.

conjugado Es sencillo demostrar que:

opuesto El opuesto de un número complejo z = x + i y se define como: Gráficamente el opuesto es una reflexión respecto al punto (0,0)

Suma y producto Suma Producto Sean: Parte real Parte imaginaria “En la facultad teníamos un profesor cojo al que llamábamos el complejo. Tenía una pierna real y otra imaginaria.” Memorias de un estudiante de matemáticas

(1) (2) Ejemplos: De modo que podemos sustituir siempre: Ejemplo:

Potencias de i Por ejemplo:

Resta División (operación inversa a la suma) (operación inversa al producto) El cociente de dos números complejos se halla multiplicando el numerador y denominador por el conjugado del denominador

Suma y resta de números complejos en el plano complejo En la suma (y la resta) los números complejos se comportan como vectores

(1) (2) Ejemplos: Sean: z 1 =18 + 3i z 2 = i Hallar el inverso de i:

Calcular: Re(z 1 ) = 18, Re(z 2 ) = -7 Im(z 1 ) = 3,Im(z 2 ) = 2 z 1 +z 2 = i,z 1 -z 2 = 25+i z 1 z 2 = (18+3i)(-7+2i) = i Ejemplo: Sean z 1 =18 + 3i z 2 = i más ejercicios

Ley de clausura: z 1 + z 2 y z 1 z 2 pertenecen a C. Ley asociativa: (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ) (z 1 z 2 ) z 3 = z 1 (z 2 z 3 ) Ley distributiva: z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 Propiedades algebraicas La suma y el producto dotan a C de estructura de cuerpo. Ley conmutativa: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 z 1 z 2 = z 2 z 1

0+z = z+0 = z (Neutro para la suma) z +(-z) = (-z)+z = 0 (Opuesto para la suma) z ·1 = 1 · z = z (Identidad para el producto) z · z -1 = z -1 · z = 1 (Inverso para el producto) {C,+,·} es un cuerpo. No es posible ordenar el conjunto de los números complejos. Carecen de sentido expresiones como z > 0 o z1 < z2 (Para todo z distinto de 0)

Falacia ¿1=-1?

El plano complejo (Plano z, de Argand o de Gauss) Módulo: También llamado “valor absoluto” (el módulo de un real es su valor absoluto) Argumento: Eje real Eje imaginario Para z = 0, el ángulo  no está definido. El 0 no tiene forma polar z = (x,y) Con calculadora: Teclas R  P, Pol  Rec, r θ, …

Forma polar Forma trigonométrica

argumento: Ejemplo: Escribir el siguiente número complejo z 1 =1+i, en forma polar y trigonométrica: módulo: solución

Ejemplo: Dibujar el número complejo z = -3-2i en el plano complejo y evaluar módulo y argumento Módulo: Argumento: La calculadora no distingue El argumento está multivaluado.

Multiplicación

Producto de números complejos en el plano complejo

Multiplicar por i es equivalente a girar 90 grados

Potencias

Fórmula de Moivre Potencias enteras de complejos en forma polar: Abraham de Moivre ( )

El teorema de Moivre es una máquina de generar identidades trigonométricas. Por ejemplo: Igualando las partes reales e imaginarias:

Potencias iguales Distintos números complejos pueden llevar al mismo resultado al realizarles una misma potencia … Esto nos lleva al cálculo de raíces

Potencias repetidas … Raíces Un número complejo tiene tantas raíces como su índice Sus afijos son los vértices de un polígono regular

Raíces se llama la raíz enésima de z a cualquier número w que cumple: w n = z, y se escribe como Módulo de w Ángulo de w Partimos de un número complejo z

Sean w= R(cos α + i sin α ) z = r(cos  + i sin  ) Por el teorema de Moivre: w n = R n [cos(n α ) + i sin(n α )]= r(cos  + i sin  ) Igualando los módulos y los ángulos obtenemos Raíces La fórmula para el cálculo de las raíces se basa en el teorema de Moivre

Raíz cuarta … Primer ángulo Ángulo a añadir

Ejemplo: raíces de la unidad

División

División de números complejos en el plano complejo

Benoit Mandelbrot publicó en 1975 su primer ensayo sobre fractales Su construcción se basa en la iteración de un número complejo, es decir se hace una operación y ésta se repite con el resultado …. z  z 2 + C. (conjunto de Mandelbrot) Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite en diferentes escalas Su dimensión es fraccionaria

Benoit Mandelbrot (Polonia-1924) retomó los trabajos de Juliá en 1970 Mandelbrot y esposa Madrid-ICM 2006 El trabajo pionero en el juego de hacer iteraciones con números complejos fue desarrollado por dos matemáticos franceses, Gaston Julia (a la izquierda) y Pierre Fatou (a la derecha), a principios del siglo XX.

El físico-matemático Antonio Brú ha modelado matemáticamente el crecimiento de los tumores, o al menos, eso es lo que defiende. En 1998 publica la primera ecuación de crecimiento tumoral en la mejor revista del mundo de física. “ … Este físico español ha logrado curar un cáncer de hígado terminal con una ecuación …”. En el cuerpo humano existen estructuras con geometría fractal, como son la red vascular, las ramificaciones bronquiales, la red neuronal, la disposición de las glándulas, etc.

Muchas antenas que en apariencia parecen constituir una sola unidad –gran parte de las antenas de radar, entre ellas- están en realidad compuestas por una formación de hasta un millar de pequeñas antenas. Uno de los ingenieros de T&M afirma que el rendimiento de las antenas fractales es un 25 por ciento mayor que el de las habituales antenas romas, revestidas de goma, con que van equipadas muchos teléfonos móviles o inalámbricos. Amén de ser más baratas de fabricar, operan en múltiples bandas, lo que permite incorporar un receptor GPS al teléfono, al tiempo que la antena puede quedar oculta en el interior del aparato. (Visita la Web de los Ingenieros de la Universidad politécnica de Cataluña)

Los fractales han estado siendo usados comercialmente en la industria cinematográfica, en películas como Star Wars y Star Trek.

Otros programas: Xaos IfsAttrActoR Fractal hecho con el programa apophysis. Visita la web de un artista: laurens.lapre/ escucha música fractal

"¿La vibración de las alas de una mariposa en Brasil pue-de desencadenar un ciclón en Tejas?". (Poincaré)

Causas pequeñas producen grandes efectos A comienzos de la década del 60, Lorenz se puso a elaborar un modelo matemático para predecir fenómenos atmosféricos, y por casualidad descubrió que la misma herramienta matemática que utilizaba estaba fallando: pequeños cambios en las condiciones iniciales producian diferencias asombrosas

los fractales son la representación grafica del caos. Ejemplos de sistemas caóticos incluyen la atmósfera terrestre, el Sistema Solar, las placas tectónicas, los fluidos en régimen turbulento y los crecimientos de población. En la década del 70 se empezaron a investigar comportamientos caóticos en el ritmo cardíaco, las reacciónes químicas, el mercado bursátil ….

Sir William Rowan Hamilton ( ) Los cuaterniones son números complejos en cuatro dimensiones en lugar de dos (Hamilton 1843). Así un cuaternión q se expresa como: q = a+ib+jc+kd donde a,b,c,d son números reales. Cuaterniones e hipercomplejos

!La propiedad conmutativa no se cumple para el producto de cuaterniones¡. Los cuaterniones se emplean para describir dinámicas en 3 dimensiones, en física y en gráficos por ordenador (para hacer películas y juegos). El software de vuelo del Space Shuttle usaba cuaterniones para el control de navegación y vuelo

Basada en la presentación de Bartolo Luque (nº complejos-archivo ppt) (área fractal-varios) (imágenes-software) (arte fractal) (laboratorio virtual de plantas) (fractales y caos) (música) (música) (cuaterniones) Autora: Mª Jesús Casado IES Daviña Rey-Monforte