Exponentes Racionales y Radicales

Objetivos: Definir la raíz enésima de un número. Calcular raices cuadradas principales. Calcular raíces cúbicas y de índice mayor. Simplificar expresiones con radicales Expresar una raiz en forma exponencial y viceversa. Racionalizar numeradores y/o denominadores. Sumar y restar expresiones con radicales. Multiplicar expresiones con radicales.

Definición Decimos que la raíz enésima de x es c, y escribimos;

Aclaración: Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, una raíz cuadrada positiva o principal y una raíz cuadrada negativa. Para cualquier número positivo x, escribimos la raíz cuadrada positiva como y la raíz cuadrada negativa como .

Para cualquier número real a Ejemplos:

Propiedades de los radicales Sean m y n números naturales mayores que 1. Si a y b son números reales tal que a > 0 y b > 0 ( números positivos ), entonces;

Ejemplos: Simplifica. Suponga que las variables representan números positivos.

Ejemplos: Simplifica. Suponga que las variables representan números positivos.

Exponentes Racionales como Raíces Las raíces o radicales representan exponentes racionales. Ejemplos:

Evalúa usando raíces:

La racionalización del denominador Al proceso de escribir una expresión racional con radicales en el denominador como otra expresión que no tiene radicales en el denominador se denomina como racionalizar el denominador. “De igual forma podemos racionalizar el numerador.”

Aclaración: Para racionalizar el denominador de una expresión que tiene un solo término con raíz en el denominador, se multiplica el numerador y el denominador por una expresión con radical que eleve cada factor dentro del radicando a una potencia que coincida con el índice del radical.

Ejemplos: Racionaliza cada denominador. Suponga que las variables representan números positivos.

Aclaración: Para racionalizar un denominador que tiene un binomio con raíces cuadradas, se multiplica el numerador y el denominador por la expresión conjugada del denominador. La expresión conjugada se obtiene cambiando el signo del medio del binomio. El objetivo es construir una diferencia de cuadrados.

Ejemplos: Racionaliza el denominador.

Ejemplos: Racionaliza el numerador.

Multiplicación de expresiones con radicales Para multiplicar expresiones con radicales se usa la propiedad distributiva y las propiedades de radicales;

Ejemplos: Multiplica las expresiones con radicales Ejemplos: Multiplica las expresiones con radicales. Suponga que las variables representan números positivos.

Suma y resta de expresiones con radicales Para sumar o restar expresiones con radicales se usa la propiedad distributiva y las propiedades de radicales. El objetivo es simplificar los radicales para tener radicandos iguales. En tal caso sumamos los coeficientes y conservamos el radical, mediante el uso de la propiedad distributiva.

Ejemplos: Suma y/o resta las expresiones con radicales Ejemplos: Suma y/o resta las expresiones con radicales. Suponga que las variables representan números positivos.