Fundamentos de Control Realimentado Clase 19 Versión 1 - 2017 Autor: Mario A. Jordán NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR, 2do. Cuatrimestre 2017. Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Este es un Power Point Show realizado en Power Point Professional Plus 2013

Empleo de Lugar de las Raíz en Sistemas de Control con Retardo Puro Contenido: Modelo simplificado de un Retardo Puro Análisis con LR de Sistemas con RP

Retardo puro en Métodos de diseño de SC Básicamente, un retardo puro es representado por una función racional compleja de orden infinito, e-sT, es decir una función racional de infinitos ceros e infinitos polos. Por ello, resulta difícil incorporar un retardo puro en el diseño de sistemas de control con las herramientas vistas. Las reglas de Ziegler-Nichols, sortean este inconveniente de forma empírica, aunque no así otros métodos de diseño propuestos como por ejemplo LR, Ruth, Bode, entre otros. El Criterio de Routh y el Lugar de la Raíces no pueden aplicarse directamente, pues exigen funciones racionales con polinomios de grado finito. Sólo es posible su inclusión mediante métodos aproximados denominados Circuitos o funciones de Padé.

Modelo de un retardo puro Funciones de Padé Sea la siguiente expansión en Series de MacLaurin alrededor de s=0: e-s = 1 – s + – | + – . . . 2 s2 6 s3 24 s4 d n(e-s) pues: = (-1)n ds n s=0 1+Tds/2 -1+Tds/2 , Se propone primeramente una función aproximante sencilla: y a continuación se la expande igualmente en series de MacLaurin: a0s+1 b0s-b1  -b1-(b0-a0b1)s-a0(b0-a0b1)s2+a02(b0-a0b1)s3… Luego identificamos los coeficientes (a0, b0, b1) con los 3 primeros términos de la serie de Maclaurin para e-Td s . Esto nos da: b1=-1 b0 - a0b1=1 -a0(b0-a0b1)=1/2 a0s+1 b0s-b1 Finalmente sustituimos s por Tds en

Modelo de un retardo puro 2/Td - 2/Td jw s y resulta la expresión aproximada: e-Td s - (1+Tds/2) -1+Tds/2 A este aproximante lo llamamos Padé (1,1). También podríamos proponer una estructura de dos ceros y dos polos denominada Padé (2,2): jw s 3/Td -3/Td - 3 /Td e-Td s 1+Tds/2+(Tds)2/12 1-Tds/2+(Tds)2/12 A veces es útil aproximar el retardo puro por un modelo simple aunque burdo como el Padé (0,1): : -1/Td jw s e-Td s (1+Tds) 1

Aproximación de un retardo puro mediante funciones de Padé 1 Respuestas al escalón 0.8 Orden (1,1) 0.6 Orden (2,2) Orden (5,5) 0.4 Orden (15.15) 0.2 Orden (30.30) -0.2 Función de MATLAB [num,den]=pade(T,N) -0.4 Orden N , Retardo T=2 seg. -0.6 -0.8 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

8 Aproximación de un sistema de primer orden con retardo puro mediante funciones de Padé 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -0.2 1.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 -0.15 -0.1 -0.05 0.05 0.1 0.15 0.25 0.3 0.35 Padé con distintos órdenes Respuesta original Td =1 seg  =1 seg Respuestas de Padé con órdenes 1, 2, 3, 8 y 16 (0,1) (2,2) Planta: G(s)  e-sTd ts+1 (3,3) (8,8) (16,16) zoom original Td =1 seg =1 seg (1,1)

Lugar de la Raíz en sistemas dinámicos con un retardo puro Ejemplo: Sea la planta: G(s)= (1+10s) (1+60s) K e-5s El polinomio característico correspondiente es: (1+10s)(1+60s)+ K e-5s=0 Usando aproximaciones de Padé de orden (0,1), (1,1) y (2,2): e-Td s (1+Tds) 1 (1+5s)(1+10s)(1+60s)+ K=0 e-Td s - (1+Tds/2) -1+Tds/2 (1+2.5s)(1+10s)(1+60s) + K (1-2.5s) =0 e-Td s 1+Tds/2+(Tds)2/12 1-Tds/2+(Tds)2/12 (1+2.5s+2.1s2)(1+10s)(1+60s)+K(1-2.5s+2.1s2) =0

Lugar de la raíz con retardo puro -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 G(s)e-Td s G(s) 1+Tds/2+(Tds)2/12 1-Tds/2+(Tds)2/12 G(s)e-Td s (1+Tds/2) -1+Tds/2 G(s) G(s)e-Td s (1+Tds) G(s) (0,1) G(s) sin retardo puro G(s)e-Td s (,) Sin RP (2,2) (1,1) Es equivalente a: Cuanto más grande es K, más grande es el error de aproximación de las ramas inestables. 1- K (1+Tds/2) 1-Tds/2 G(s) con K positiva, o: (1+Tds/2) -1+Tds/2 1+KG(s) Cuanto más alto es el orden del Circ. de Padé, más pequeño es el error de las ramas inestables. con K negativa.