…𝑑𝑥 Integración ¿Que es la antiderivada? Es la operación inversa a la derivación. A partir de la derivada podemos retroceder hasta encontrar la función que le dio origen a la tangente de esta curva. A la antiderivada también se le conoce como integración y se conoce con el siguiente símbolo que va acompañada por una variable por ejemplo x. …𝑑𝑥
La integración tiene un doble significado: Como la operación inversa a la derivación. El área bajo una curva.
Integración como suma En este caso, se supone un número ilimitado de rectángulos genéricos de dimensiones infinitamente pequeños, los cuales al sumarse con el proceso de integración nos proporcionan el área exacta bajo la curva desde un límite x1=a hasta un límite x2=b cuando n→ ∞
Integración como operación inversa El cálculo de la antiderivada o integral como la operación inversa al cálculo diferencial Ejemplo: Función (Parábolas) Diferencial a) 𝒚= 𝒙 𝟐 b) 𝒚= 𝒙 𝟐 +𝟏 c) 𝒚= 𝒙 𝟐 +𝟒 d) 𝒚= 𝒙 𝟐 −𝟑 Función (Parábolas) Diferencial a) 𝒚= 𝒙 𝟐 𝒅𝒚=𝟐𝒙𝒅𝒙 b) 𝒚= 𝒙 𝟐 +𝟏 c) 𝒚= 𝒙 𝟐 +𝟒 d) 𝒚= 𝒙 𝟐 −𝟑
Se observa que las diferenciales en los 4 ejemplos anteriores son iguales, las funciones originales no lo son la diferencia es el termino independiente, es decir: 𝒅𝒚=𝟐𝒙𝒅𝒙 En consecuencia al integrar una función se le debe sumar una constante llamada constante de integración 𝒚= 𝒙 𝟐 +𝑪 Entonces la antiderivada o integral como operación inversa tenemos: 𝟐𝒙𝒅𝒙= 𝒙 𝟐 +𝑪
La antiderivada o primitiva de una función Se dice que una función F es una antiderivada o primitiva de f , en un intervalo [a,b] si F’(x) = f(x) para todo valor de x en el intervalo [a,b]
Ejemplo: 𝒇 𝒙 =𝟑 𝒙 𝟐 𝑭 𝒙 = 𝒙 𝟑 +𝑪 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒙 𝟑 +𝑪 =𝟑 𝒙 𝟐 Antiderivada o primitiva 𝑭 𝒙 = 𝒙 𝟑 +𝑪 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒙 𝟑 +𝑪 =𝟑 𝒙 𝟐 porque
𝑭 𝒙 = 𝒙 𝟑 𝑭 𝒙 = 𝒙 𝟑 +𝑪
Cuál es la antiderivada o función primitiva de: 𝒇 𝒙 =𝒙+𝟑 𝒂) 𝑭 𝒙 = 𝒙 𝟐 𝟐 +𝟒𝒙+𝒄 𝒃) 𝑭 𝒙 = 𝒙 𝟐 𝟐 −𝟑𝒙+𝒄 𝒄) 𝑭 𝒙 = 𝒙 𝟐 𝟐 +𝒄 𝒅) 𝑭 𝒙 = 𝒙 𝟐 𝟐 +𝟑𝒙+𝒄
Cuál es la antiderivada o función primitiva de: 𝒇 𝒙 =𝟑 𝒙 𝟐 𝒇 𝒙 =𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒇 𝒙 =𝟒𝒙 𝒂) 𝑭 𝒙 =−𝟐 𝒙 𝟐 +𝒄 𝒃) 𝑭 𝒙 =𝟐 𝒙 𝟐 +𝒄 𝒄) 𝑭 𝒙 =𝟒 𝒙 𝟐 +𝒄 𝒅) 𝑭 𝒙 =𝒙+𝒄 𝒂) 𝑭 𝒙 =𝟑𝒙+𝒄 𝒃) 𝑭 𝒙 = 𝒙 𝟑 +𝒄 𝒄) 𝑭 𝒙 = −𝒙 𝟑 +𝒄 𝒅) 𝑭 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟑 +𝒄 𝒂) 𝑭 𝒙 =𝒕𝒂𝒏𝒙+𝒄 𝒃) 𝑭 𝒙 =−𝒔𝒆𝒏𝒙+𝒄 𝒄) 𝑭 𝒙 =−𝒄𝒐𝒔𝒙+𝒄 𝒅) 𝑭 𝒙 =𝒄𝒐𝒔𝒙+𝒄