Apuntes 1º Bachillerato CT DERIVADAS U.D. 8 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

CRECIMIENTO Y EXTREMOS RELATIVOS U.D. 8.7 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Máximos y Mínimos relativos Se llaman puntos singulares a los puntos de tangencia horizontal, es decir, a los puntos en que su derivada es cero. Las abscisas de los puntos singulares cumplen la ecuación: f ’(x) = 0 EJEMPLO Hallar los máximos y mínimos relativos de la función: y = 2.x3 + 3.x2 – 12.x – 5 Hallamos su derivada: y ‘ = 6.x2 + 6.x – 12 La igualamos a cero: 6.x2 + 6.x – 12 = 0 Simplificamos: x2 + x – 2 =0 Resolvemos la ecuación: x = - 2 y x = 1 En x = -2 habrá un máximo o un mínimo relativo. En x = 1 habrá un máximo o un mínimo relativo. Para determinar si es máximo o mínimo estudiamos el crecimiento @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Crecimiento y decrecimiento Si f ’(x) >0 la función es creciente y si f ‘ (x)<0 la curva es decreciente. Por tanto, resolviendo tales inecuaciones se obtienen los intervalos donde la curva crece o decrece. Los valores de x (abscisas) que nos delimitan tales intervalos serán los puntos singulares y las posibles asíntotas verticales. Si para un valor de x cualquiera, x = a, perteneciente a un intervalo, se cumple que f ’(a) > 0, entonces en todos los puntos de dicho intervalo de valores se cumplirá f ’(x) > 0. Si para un valor de x cualquiera, x = b, perteneciente a un intervalo, se cumple que f ’(b) < 0, entonces en todos los puntos de dicho intervalo de valores se cumplirá f ’(x) < 0. En los puntos donde f ’ (c) =0, la curva puede tener en x = c un máximo o un mínimo relativo: Será máximo si en x < c crece y en x > c decrece. Será mínimo si en x < c decrece y en x > c crece. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Crecimiento y decrecimiento EJEMPLO 1 Sea la función, ya empleada: y = 2.x3 + 3.x2 – 12.x – 5 Hallamos su derivada: y ‘ = 6.x2 + 6.x – 12 Simplificamos: y ‘ = 6.(x2 + x – 2 ) Resolvemos la ecuación: x = - 2 y x = 1 son las raíces de y ‘ En x= -2 y en x= 1 habrá máximos o mínimos relativos. Factorizamos: y ‘ = 6.( x + 2).(x – 1) En ( - oo, -2)  y ` > 0  Pendiente positiva  Función Creciente. En ( - 2, 1)  y ` < 0  Pendiente negativa  Función Decreciente. En ( 1, + oo)  y ` > 0  Pendiente positiva  Función Creciente. Al crecer hasta x =-2 y luego decrecer, en x = -2 hay un Máximo relativo. Al decrecer hasta x = 1 y luego crecer, en x = 1 hay un Mínimo relativo. (Como se ha visto gráficamente al principio de este apartado). @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Crecimiento y decrecimiento EJEMPLO 2 Sea la función: y = x / (x – 1) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. En x = 1 la función presenta una asíntota vertical. Hallamos su derivada: y ‘ = [1.(x – 1)– 1.x] / (x – 1)2 Simplificamos: y ‘ = - 1 / (x – 1)2 Como y’ no puede ser 0, la función no presenta máx. ni mín. Intervalos: En ( - oo, 1)  y ` (0) = - 1 < 0  Pendiente negativa  Decreciente. En ( 1, + oo)  y `(2) = -1 < 0  Pendiente negativa  Decreciente. Al ser siempre decreciente, no hay máximos ni mínimos relativos. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Crecimiento y decrecimiento EJEMPLO 3 Sea la función: y = 2 / (x2 – 4) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. En x = -2 y en x=2 la función presenta asíntotas verticales. Hallamos su derivada: y ‘ = [0.(x2 – 4)– 2.2x] / (x2 – 4)2 Simplificamos: y ‘ = - 4x / (x2 – 4)2 Hacemos y’ = 0  x = 0 En x = 0 la función presenta un máximo o un mínimo. Intervalos: En ( - oo, -2)  y ` (-3) = > 0  Pendiente positiva  Creciente. En ( -2, 0)  y ` (-1) = > 0  Pendiente positiva  Creciente. En ( 0, 2)  y ` (1) = < 0  Pendiente negativa  Decreciente. En ( 2, + oo)  y ` (3) = < 0  Pendiente negativa  Decreciente. Al crecer hasta x=0 y luego decrecer, en x=0 hay un Máximo relativo. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Crecimiento y decrecimiento EJEMPLO 4 x2 + 3 f(x) = -------- x – 1 Hallamos la función derivada: 2.x.(x – 1) – (x2 + 3).1 y ’ = ‑‑‑‑‑‑----------------------‑‑ = 0  y ‘ = 0  2.x2 – 2.x – x2 – 3 = 0 (x – 1)2 x2 – 2.x – 3 = 0  Resolviendo la ecuación: x= – 1 y x = 3 En x = 1 hay una asíntota vertical que hay que tener en cuenta. Intervalos: En ( - oo, -1)  y ` (-2) = 5 / 9 > 0  Pendiente positiva  Creciente. En ( -1, 1)  y ` (0) = - 3 < 0  Pendiente negativa  Decreciente. En ( 1, 3)  y ` (2) = - 3 < 0  Pendiente negativa  Decreciente. En ( 3, + oo)  y ` (4) = 5 / 9 < 0  Pendiente positiva  Creciente. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT ... Ejemplo 4 x2 + 3 f(x) = -------- x – 1 Como en ( - oo, -1) crece y en ( -1, 1) decrece: En x = -1 hay un máximo relativo. x=-1  y = (1+3)/(-1-1) = - 2 Máx(-1 , -2) Como en (1, 3) decrece y en ( 3, + oo) crece: En x = 3 hay un mínimo relativo. x=3  y = (9+3)/(3 – 1) = 12/2 = 6 Mín(3 , 6) Asíntota vertical: x = 1 Asíntota oblicua: 4 ( x2 + 3 ) : (x – 1) = x + 1 + ------- y = x + 1 es la asíntota oblicua. y Mín -1 0 1 2 3 x Max @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Obtención de abscisas para f ‘(x)=k Si en lugar de pedirnos la derivada de la función en x = a, nos dan dicho valor y nos piden la abscisa, se procede así: Se halla la expresión f ’(x) Se resuelve la ecuación f ’(x) = k EJEMPLO 1 Sea la función, ya empleada: y = 2.x3 + 3.x2 – 12.x – 5 ¿Para qué valor de x la pendiente de la recta tangente valdrá m=2? Hallamos su derivada: y ‘ = 6.x2 + 6.x – 12 Resolvemos la ecuación: 2 = 6.x2 + 6.x – 12  6.x2 + 6.x – 14 = 0  3.x2 + 3.x – 7 = 0  x = [ - 3 +/- √(9 + 84)] / 6 = 1,11 y - 2,11 En x = -2,11 y en x = 1,11 la pendiente de la tangente vale m=2. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT EJEMPLO 2 Hallar el valor de a para que el máximo de la función y = – 2 .x2 + 4.x + a valga 8. Derivamos e igualamos a cero, pues al ser un máximo su pendiente es nula. y`= - 4x + 4 = 0  x = 1 es la abscisa donde está el máximo. 8 = – 2 .12 + 4.1 + a  a = 8 + 2 – 4  a = 6 EJEMPLO 3 Hallar el valor de a y b para que la función y = x3 + a.x2 + b.x + 1 tenga un mínimo en el punto P(2, - 15) Derivamos e igualamos a cero, pues al ser un mínimo su pendiente es nula. y`= 3.x2 + 2.a.x +b = 0  x = 2 es una de las dos soluciones. 12+4.a+b = 0  b = – 4.a – 12 se debe cumplir. Sustituyendo en la función: – 15 = 23 + a.22 + (– 4.a – 12).2 + 1 – 15 = 8 + 4.a – 8.a – 24 + 1  4a = 0  a = 0  b = – 12 La función debe ser: y = x3 – 12.x + 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL Sea la función: y = 3.x2 – 7.x + 5 Hallar la recta tangente y la recta normal en x=2. Para x=2  y = 3.4 – 7.2 + 5 = 3  Punto tangencia: (2 , 3) Hallamos su derivada: y ‘ = 6.x – 7 En x = 2  y´=m = 6.2 – 7 = 12 – 7 = 5 La ecuación de la tangente será: y – 3 = 5.(x – 2)  y = 5.x – 7 La pendiente de la recta normal valdrá: m´= – 1/ m = – 1/ 5 = – 0,2 La ecuación de la normal será: y – 3 = (– 0,2 ).(x – 2)  y = – 0,2.x + 3,4 normal P(2,3) tangente @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT