U.D. 9 * 2º BCS GRÁFICAS DE FUNCIONES

U.D. 9.3 * 2º BCS GRÁFICA DE RACIONALES

Apuntes 1º Bachillerato CS Ejemplo_1 Puntos importantes a tener en cuenta para representar funciones RACIONALES, y = P(x) / Q(x) 1.- Dominio y Asíntotas verticales. 2.- Tendencia y Asíntotas horizontales. 3.- Asíntotas oblicuas. 4.- Máximos y mínimos relativos. 5.- Cortes con los ejes. 6.- Intervalos de crecimiento y decrecimiento. 7.- Puntos de inflexión. 8.- Intervalos de concavidad y convexidad. 9.- Simetría. 10.- Tabla de Valores (En su caso para contener lo calculado). @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CS

Apuntes 1º Bachillerato CS EJEMPLO_1 Representar la función: y = x / (3 – x) 1.- Asíntota vertical En x = 3 la función no existe. En x = 3 la función presenta una asíntota vertical. Calculamos sus límites laterales: x 3 Lím ------------ = ------ = + oo x 3- 3 – 3- +0 Lím ------------ = ------ = – oo x 3+ 3 – 3+ – 0 y 0 3 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CS

Apuntes 1º Bachillerato CS Representar la función: y = x / (3 – x) 2.- Asíntota horizontal x oo y = Lím ------------ = ------ = xoo 3 – x oo Indeterminación Se divide todo entre x 1 1 Lím ------------ = ------ = – 1 x oo 3/x – 1 0 – 1 y= -1 es una asíntota horizontal. y 0 3 x -1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CS

Apuntes 1º Bachillerato CS Representar la función: y = x / (3 – x) 3.- Asíntota oblicua Al dividir x entre 3 – x me da – 1 de cociente, que es la asíntota y = – 1 No hay asíntota oblicua, al coincidir con la horizontal. 4.- Puntos singulares Derivamos la función para hallar los puntos singulares: y ‘ = [ 1. (3 – x) – (-1) . x ] / (3 – x)2 y ‘ = [ 3 – x + x ] / (3 – x)2 = 3 / (3 – x)2 Igualamos a cero: y ‘ = 0  3 = 0  Imposible. No existen puntos singulares, ni máximo ni mínimo relativo. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CS

Apuntes 1º Bachillerato CS Representar la función y = x / (3 – x) 5- Cortes con los ejes Con el eje OY: x=0  y = 0 / 3 = 0  Pc(0,0) Con el eje OX: y=0  0= x / (3 – x)  0 = x  Pc(0,0) 6.- Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Su derivada era y ‘ = 3 / ( 3 – x)2 Al no haber puntos singulares, x = 3, que es la A.V., nos delimita los intervalos Los intervalos a estudiar son: (-oo, 3) y (3, oo) Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo: f ’ (0) = 3 / (3 – 0)2 = 3 / 9 = 1 / 3 > 0  Creciente en (- oo, 3) f ’ ( 6) = 3 / (3 – 6)2 = 3 / 9 = 1/ 3 > 0  Creciente en (3, + oo) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CS

Apuntes 1º Bachillerato CS Sea la función: y = x / (3 – x) Asíntota vertical: x = 3 Asíntota horizontal: y = - 1 Puntos de corte: Pc (0, 0), Máximo: No hay. Mínimo: No hay. Creciente en (- oo, 3) y en (3, +oo) Punto de Inflexión: No hay. Es çóncava en (- oo, 3) Es convexa en (3, + oo) No presenta simetrías. y Pc(0,0) 0 3 x -1 Gráfica del Ejemplo_1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CS

Apuntes 1º Bachillerato CS Ejemplo_2 Representar la función: y = (x2 + 1) / x 1.- Asíntotas verticales En x = 0 la función no existe. x = 0 es una posible asíntota vertical. Calculamos sus límites laterales: x2 + 1 1 Lím ------------ = ---------- = - oo x 0- x 0- x2 + 1 3 Lím ------------ = ---------- = + oo x 0+ x 0+ Y tenemos la tendencia de la función a izquierda y derecha de la asíntota. y 0 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CS

Apuntes 1º Bachillerato CS Representar la función: y = (x2 + 1) / x 2.- Asíntota horizontal x2 + 1 oo y = Lím ------------ = ------ = xoo x oo Indeterminación Se divide todo entre x x + 1/x oo+0 Lím ------------ = -------- = oo x oo 1 1 No hay asíntota horizontal. 3.- Asíntota oblicua x2 + 1 1 -------- = x + -----  y = x es la A.O. x x y 0 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CS

Apuntes 1º Bachillerato CS Representar la función: y = (x2 + 1) / x 4.- Puntos singulares Derivamos la función para hallar los puntos singulares: y ‘ = [ (2.x).x – (x2 +1).1 ] / x2 y ‘ = (x2 – 1 ) / x2 Igualamos a cero: y ‘ = 0  x2 – 1 = 0   x2 = 1  x = 1 y x = -1 x = 1  y = 2 ; x = -1  y = -2 Por la derivada segunda: y “ = [ (2.x).(x2 ) – (x2 – 1).(2.x)] / x4. y “ = 2 / x3 y “ (-1) = -2 < 0  Máx (-1, -2) y “ (1) = 2 > 0  Mín (1, 2) 5- Cortes con los ejes Con el eje OY: x=0  No hay Con el eje OX: y=0  x2 + 1 = 0  No hay y 0 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CS

Apuntes 1º Bachillerato CS Representar la función: y = (x2 + 1) / x 6.- Monotonía: Los valores que limitan los intervalos son: x = -1 , x = 0, x = 1 Los intervalos serán: (-oo, -1), (-1 , 0) , (0 , 1) y (1 , +oo) La derivada primera era: y ‘ = (x2 – 1 ) / x2 y ‘ (-2) = (4 – 1 ) / 4 > 0  Creciente en (-oo, -1) y ‘ (0,5) = (0,25 – 1 ) / 0,25 < 0  Decreciente y ‘ (2) = (4 – 1 ) / 4 > 0  Creciente en (1 , +oo) y 2 -2 -1 0 1 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CS

Apuntes 1º Bachillerato CS Representar la función: y = (x2 + 1) / x 8.- Concavidad: Su derivada segunda era: y “ = 2 / x3 Los intervalos serán: (-oo, 0) y (0 , +oo) y ” (-2) = 2 / ( – 8) < 0  Convexa en (-oo, 0) y “ (2) = 2 / 8 > 0  Cóncava en (0 , +oo) 9.- Simetría: f(-x) = - (x2 + 1) / x  No hay simetría par. - f(-x) = (x2 + 1) / x  Hay simetría impar. y 2 -2 -1 0 1 x Gráfica Ejemplo_2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CS