XIII Verano de Investigación Científica UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica División de Estudios de Posgrado en Ingeniería de Sistemas XIII Verano de Investigación Científica Agregación en Programación Lineal San Nicolás de Los Garza, Nuevo León a 25 de Agosto de 2003.

Equipo de Trabajo Dr. Igor Litvinchev Sergio David Madrigal Espinoza Amelia Espinosa Martínez Angelica Arguijo Donoso

Índice Objetivo Conceptos básicos Diagrama de optimización Problema original y el agregado Las cotas El experimento y sus resultados Conclusiones

Objetivo Uso de las técnicas de agregación y determinación de las características cualitativas de las cotas.

Conceptos Básicos Agregación Cotas a priori Cotas a posteriori Error de agregación

Proceso de agregación/desagregación para modelos de optimización Resolver el modelo reducido Análisis de agregación Análisis de desagregación Modelo original Modelo reducido Vector solución del modelo reducido Vector solución del modelo original Valor optimo de la función objetivo del problema original Error a posteriori Error a priori Proceso de agregación/desagregación para modelos de optimización Estimación del valor de la función objetivo para el modelo original

Se asume que z tiene una solución óptima finita. El problema original Suponga que el problema original es el siguiente: Se asume que z tiene una solución óptima finita.

Definición de variables Dados: x = {xj} es un vector n de variables de decisión, c = {cj} es un vector n, b = {bi} es un vector m, A = [aij] es un mxn matriz con columnas aj.

Obtención del problema agregado _ z = función objetivo del problema agregado _ c = gc Problema agregado _ A = Ag Donde g es una matriz de pesos fijos de agregación

Su solución óptima es x*lp = (0, 13/5, 0, 0, 0, 0) Ejemplo Problema original: z*LP = max 19x1 + 20x2 + 21x3 + 39x4 + 40x5 + 41x6 s.a. 5x1 + 6x2 + 9x3 + 14x4 + 15x5 + 16x6 < 19 5x1 + 5x2 + 7x3+ 11x4 + 12x5 + 13x6 < 13 xj > 0 Su solución óptima es x*lp = (0, 13/5, 0, 0, 0, 0) z*lp = 52

Ejemplo Haciendo K = 2 S1={1, 2, 3} S2={4, 5, 6} g = 1 1 1 1 0 0 0 T 3 0 0 0 1 1 1

Su solución óptima es X1 = 2.294, X2=0, Problema agregado z*LP = max 19X1 + 20X2 s.a. 5X1 + 6X2 < 19 5X1 + 5X2 < 13 X1 > 0 X2 > 0 _ _ Su solución óptima es X1 = 2.294, X2=0, _ _ _ zlp = 45.88, u1 = 0, u2 = 3.529 _ xlp = 1 (13, 13, 13, 0, 0, 0) 17

Cota a posteriori

Cotas a posteriori UB2= (u,W1)= 53.33 UB2= (u,W2)= 52.00 Donde: W1 y W2 estan definidas por las restricciones del problema origial respectivamente

El error relativo verdadero es 0.13 La cota calculada fue de 0.26 Cota a priori El error relativo verdadero es 0.13 La cota calculada fue de 0.26

El experimento

Laboratorio Software de modelación: GAMS 2.5 Sistema operativo: Solaris 7 Versión 6.6 Plataforma: Estación de trabajo de Sun Ray Optimizador: BDMLP

Muestra Se generaron 29 problemas aleatorios Con variables de 100 hasta 1000 Sujetas restricciones de 5 hasta 25 En total se obtuvieron 149 problemas agregados

Resultados obtenidos para: 100 variables 5 restricciones 1000 variables 25 restricciones y

Para cotas a priori 5x100 r zag 18 10.000 16.825 1.683 7.083 15 10.526 Correlación entre error relativo verdadero y cota a priori 0.433 Con z = 26.825 r zag Error absoluto verdadero Error verdadero relativo Cota a priori relativa 18 10.000 16.825 1.683 7.083 15 10.526 16.298 1.548 8.825 10 10.714 16.110 1.504 8.000 5 13.564 13.261 0.978 5.944 3 14.810 12.014 0.811 5.800

Para cotas a posteriori 25x1000 C. Correlación entre Error verdadero absoluto y cota a posteriori absoluta verdadera 0.694 C. de correlación entre Error relativo verdadero y cota a posteriori relativa 0.769 r zag Error absoluto verdadero Error verdadero relativo Cota a posteriori absoluta verdadera Cota a posteriori relativa 38 12.145 14.649 1.337 66.227 5.453 33 13.043 13.751 1.176 65.278 5.005 25 13.078 13.716 1.170 61.465 4.700 17 14.182 14.203 1.001 50.148 3.536 9 15.321 13.064 0.853 62.913 4.106

Para cotas a priori

Para cotas a posteriori absolutas

Para cotas a posteriori relativas

Indicadores preliminares Las cotas a posteriori tienen una mayor correlación lineal con el error de agregación. Existe correlación sufiente entre el error de agregación y las cotas a priori y a posteriori. Es factible emplear métodos de agregación en modelos a gran escala. Es posible tener mejor referencia para ubicar el problema agregado.

Agradecimiento Al Dr. Igor Litvinchev por habernos instruido y brindado su amistad. Los Doctores y alumnos del PISIS Universidad Autónoma de Nuevo León Universidad Autónoma de Ciudad Juárez Instituto Tecnológico de Culiacán Delfín y Academia Mexicana de Ciencias Compañeros del verano