INVESTIGACIÓN OPERATIVA I Grace Maureira Alegría Licenciatura en Ciencias de la Ingeniería Estudiante de Ingeniería Civil Industrial.

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1 INVESTIGACIÓN OPERATIVA I Grace Maureira Alegría Licenciatura en Ciencias de la Ingeniería Estudiante de Ingeniería Civil Industrial

2 mn Un programa estándar con m restricciones y n variables será representado como: 2 Representación estándar de un modelo P.L.

3 Características: 1. Función objetivo es maximización o minimización. 2. Las restricciones son expresadas como ecuaciones. 3. Las variables son no negativas. 4. El lado derecho de cada constante es no negativa. 3 Representación estándar de un modelo P.L

4 4 EstándarMatrices A: Matriz de coeficientes tecnológicos b: Vector de restricciones, vector lado derecho c: Vector fila beneficios, costos o rendimientos X: Vector de decisiones SISTEMA DE ECUACIONES

5 Representación estándar de un modelo P.L Ejemplo: Max Z = 5X 1 + 2X 2 + 3X 3 - X 4 + X 5 Sujeto a: X 1 + 2X 2 + 2X 3 + X 4 = 8 3X 1 + 4X 2 + X 3 + X 5 = 7 X i >= 0 ; i=1,…,5 Forma Matricial 5

6 Representación estándar de un modelo P.L Ejemplo: Reducción, Transformación a su forma estándar. Min Z = 40X 1 + 36X 2 S.a X 1 ≤ 8 X 2 ≤ 10 200X 1 + 120X 2 ≥ 1800 X 1, X 2 >= 0 X 3 + 0X 4 + 0X 5 Min Z = 40X 1 + 36X 2 + 0 X 3 + 0X 4 + 0X 5 S.a X 3 X 1 + X 3 = 8 X 4 X 2 + X 4 = 10 X 5 200X 1 + 120X 2 - X 5 = 1800 X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 >= 0 X 3, X 4, X 5 : Variables holguras (“sobrantes”) 6 Si la inecuación es ≤ se suma una variable holgura Si la inecuación es ≥ se resta una variable holgura

7 Representación estándar de un modelo P.L Ejemplo: Reducción, Transformación a su forma estándar. X 3 + 0X 4 + 0X 5 Min Z = 40X 1 + 36X 2 + 0X 3 + 0X 4 + 0X 5 S.a X 3 X 1 + X 3 = 8 X 4 X 2 + X 4 = 10 X 5 200X 1 + 120X 2 - X 5 = 1800 X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 >= 0 X 3, X 4, X 5 : Variables holguras X 3, X 4 y X 5 = Variables Básicas no básica Una variable X n se dice básica si el coeficiente es unitario en una ecuación y es cero en las otras. Si una variable no es básica se dice que es no básica. Solución Básica: Solución obtenida de un sistema canónico haciendo las variables no básicas cero y resolviendo el sistema de ecuaciones. X 1 = 0X 2 = 0 X 3 = 8X 4 = 10X 5 = 1800 7

8 Representación estándar de un modelo P.L Ejemplo: Reducción, Transformación a su forma estándar. Max Z = X 1 - 2X 2 + 3X 3 S.a. X 1 + X 2 + X 3 ≤ 7 X 1 - X 2 + X 3 ≥ 2 3X 1 - X 2 - 2X 3 = -5 X 3 no restringida en signo X 1, X 2 >= 0 ; X 3 no restringida en signo Para convertir el problema anterior a su forma estándar. 1. Reemplazar X3 por X4 - X5 con X4, X5 >= 0. 2. Multiplicar ambos lados de la última igualdad por (-1). 3. Definir holgura X6 y X7 para restricción 1 y 2, respectivamente. 4. Asignar beneficio cero a X6 y X7. 8 Max Z = X1 - 2X2 + 3X4 - 3X5 S.a X1 + X2 + X4 - X5 + X6 = 7 X1 - X2 + X4 - X5 - X7 = 2 -3X1 + X2 + 2X4 - 2X5 = 5 Xi >= 0 ; i = 1...7

9 El método simplex requiere el P.P.L en forma canónica y en forma estándar. Los pasos generales son: 1.Comienza con una solución básica inicial en forma canónica. 2. Mejorar la solución inicial si es factible encontrando otra solución factible con un mejor valor de la función objetivo (elimina las soluciones básicas posibles que tienen un peor valor de la función objetivo). 3. Continúa la búsqueda de otras soluciones posibles que mejoran la función objetivo. Cuando no es factible encontrar soluciones mejores la búsqueda termina. 9 Método Simplex

10 Algunas definiciones: Beneficio relativo Es el incremento en la función objetivo por unidad de incremento de la variable no básica (costo reducido). Condición de Optimalidad En un problema de maximización una solución máxima factible es óptima si los beneficios relativos de todas sus variables no básicas son todas negativas o cero. 10 Método Simplex

11 11 Método Simplex Resumen (Maximización) Paso 1 Comenzar con una S. B. F. canónica Paso 2 ¿Optimalidad? Paso 3 Seleccionar VNB que ingresa a la base Paso 4 Determinar VB que abandona la base. Aplicar regla razón mínima Paso 5 Generar nuevo sistema. Y volver a Paso 2.

12 Método Simplex Ejemplo Max Z = 5X1 + 2X2 + 3X3 - X4 + X5; Sujeto a: X1 + 2X2 + 2X3 + X4 = 8 3X1 + 4X2 + X3 + X5 = 7 Xi >= 0, i=1...5 X B : se refiere a las variables básicas. (x4,x5) b J : se refiere a los valores de las variables básicas. (8,7) C J : Coeficiente de XJ en la función objetivo. (5,2,3,-1,1) C B : Coeficiente de XB en la función objetivo. (-1,1) de la tabla: X 4 = 8, X 5 = 7 y X 1 = X 2 = X 3 = 0 El beneficio relativo es : 12 C J 5 2 3 1 C B X B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 bJbJ X 4 1 2 2 1 08 1 X 5 3 4 1 0 17 Primer Tableau Forma canónica

13 Método Simplex Ejemplo 13 C J 5 2 3 1 C B X B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 b J X 4 1 2 2 1 0 8 1 X 5 3 4 1 0 1 7 C J 5 2 3 1 C B X B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 b J b J /a J3 1 X 4 X 5 1 3 2 4 2 1 0 1 8 7 8/2=4 7/1=7 3 040 0Z=-1 Variable N.B X 3 Provoca el mejor impacto ( Máx ) Por lo tanto, entra X 3 y sale X 4. La variable no básica X 3 es aumentada a un máximo de 4. En ese mismo momento sucede que X 4 se hace cero y se transforma en no básica. X 3 y X 5 serán básicas

14 C J 5 2 3 1 C B X B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 b J b J /a J1 3 X 3 ½ 1 1 1/2 0 4 8 1 X 5 5/2 3 0-1/2 1 3 6/5 1-40-20 Z=15 Método Simplex Ejemplo El nuevo sistema canónico se obtiene: 1. Dividiendo la fila del pivote en 2, para hacer el coeficiente de X3 unitario. 2. Multiplicando la fila del pivote (-1/2) y sumando a la segunda fila para eliminar X3. El nuevo "Tableau" será : 14 Como esta tabla no es óptima. Entra X 1 y sale X 5. Una nueva operación pivote genera el siguiente "Tableau". Todos los no es factible mejorar la solución básica. Estamos frente a la Solución Óptima. C J 5 2 3 1 C B X B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 b J 3 X 3 0 2/5 1 3/5-1/5 17/5 5 X 1 1 6/5 0-1/5 2/5 6/5 0-26/5 0-9/5-2/5Z=81/5

15 Método Simplex Resolver 15

16 Método Simplex Resolver 16

17 Resolver por el método simplex el siguiente problema: Max Z = 3X1 + 2X2 -X1 + 2X2 ≤ 4 3X1 + 2X2 ≤ 14 X1 - X2 ≤ 3 X1, X2 ≥ 0 17 Método Simplex Ejemplo: Usando Solver en Excel

18 18 Método Simplex Ejemplo: Usando Solver 1E+30 = ∞

19 Resolver mediante simplex y comparar resultado con Solver. 19 Método Simplex Repaso

20 20 Método Simplex Repaso

21 En esta sección se examinarán cuatro casos especiales que se presentan al aplicar el método símplex: 1. Degeneración. 2. Óptimos alternativos. 3. Soluciones no acotadas. 4. Soluciones inexistentes (o no factibles). 21 Método Simplex Casos especiales de la aplicación

22 Al aplicar la condición de factibilidad del método simplex, se puede romper un empate en la razón mínima en forma arbitraria. Cuando se presenta un empate, al menos una variable básica será cero en la siguiente iteración, y se dice que la nueva solución es degenerada. Desde el punto de vista práctico, la condición indica que el modelo tiene al menos una restricción redundante. 22 Método Simplex Casos especiales de la aplicación: Degeneración

23 Sean x3 y x4 las variables de holgura. La siguiente tabla muestra las iteraciones simplex. 23 Método Simplex Casos especiales de la aplicación: Degeneración (Ejemplo) En la iteración de inicio empatan x3 y x4 como variable de salida. Es la razón por la que la variable básica x4 es cero en la iteración 1, y se obtiene así una solución básica degenerada. Se alcanza el óptimo después de una iteración más.

24 Cuando la función objetivo es paralela a una restricción obligatoria (es decir, una restricción que se satisface como ecuación en la solución óptima), la función objetivo asumirá el mismo valor óptimo, que se llama óptimos alternativos, en más de un punto de solución. 24 Método Simplex Casos especiales de la aplicación: Óptimos Alternativos

25 La figura muestra cómo pueden presentarse óptimos alternativos en el modelo de programación lineal cuando la función objetivo es paralela a una restricción obligatoria. Todo punto del segmento de recta BC representa un óptimo alternativo con el mismo valor objetivo z=10. 25 Método Simplex Casos especiales de la aplicación: Óptimos Alternativos (Ejemplo) El coeficiente de x1 no básica es cero, lo que indica que x1 puede entrar a la solución básica sin cambiar el valor de z, pero causando un cambio en los valores de las variables. Eso es justo lo que hace la iteración 2: dejar que x1 entre a la solución básica, con lo que se obliga a que salga x4.

26 En algunos modelos de programación lineal, los valores de las variables pueden aumentar en forma indefinida sin violar alguna de las restricciones, y eso significa que el espacio de soluciones es no acotado al menos en una dirección. El resultado es que el valor objetivo puede aumentar (maximización) o disminuir (minimización) en forma indefinida. En ese caso, tanto el espacio de soluciones como el valor óptimo objetivo no están acotados. La no acotación apunta hacia la posibilidad de que el modelo esté mal construido. Las irregulares más probables en esos modelos son que no se hayan tomado en cuenta una o más restricciones no redundantes, y que los parámetros (constantes) de algunas restricciones puedan no haberse estimado en forma correcta. 26 Método Simplex Casos especiales de la aplicación: Solución No Acotada

27 En la tabla de inicio tanto x1 como x2 son candidatos para entrar en la solución. Como x1 tiene el coeficiente más negativo, se selecciona, normalmente, como la variable de entrada. Sin embargo, todos los coeficientes de restricción bajo x2 son negativos o cero, y eso indica que x2 puede aumentar en forma indefinida sin violar cualquiera de las restricciones. Como cada aumento de una unidad en x2 aumentará 1 a z, un aumento infinito de x2 también dará como resultado un aumento infinito en z. Así, el problema no tiene solución acotada. El espacio de soluciones no está acotado en la dirección de x2, y el valor de z puede aumentar en forma indefinida. 27 Método Simplex Casos especiales de la aplicación: Solución No Acotada (Ejemplo)

28 Los modelos de programación lineal con restricciones inconsistentes no tienen solución factible. Estos casos nunca suceden si todas las restricciones son del tipo ≤ (suponiendo lados derechos no negativos), porque las holguras permiten tener una solución factible. Para otros tipos de restricciones se usan variables artificiales. Aunque esas variables artificiales se penalizan en la función objetivo, para obligarlas a ser cero en el óptimo, eso sólo puede suceder si el modelo tiene un espacio factible. En caso contrario, al menos una variable artificial será positiva en la iteración óptima. Desde el punto de vista práctico, un espacio no factible indica la posibilidad de que el modelo no esté bien formulado. 28 Método Simplex Casos especiales de la aplicación: Solución No Factible (Ejemplo)

29 Pasos: PPL a forma estándar. Buscar variables básicas. Si no hay disponible agregar variables externas (artificiales). Las variables artificiales no tienen relevancia al problema y deben ser forzadas a valer cero. 29 Método Simplex Uso de variables artificiales

30 Método Simplex Uso de variables artificiales (Ejemplo) Modelo: Min Z = -3X 1 + X 2 + X 3 S.a. X 1 - 2X 2 + X 3 ≤ 11 -4X 1 + X 2 + 2X 3 ≥ 3 2X 1 - X 3 = -1 Convertir a forma estándar: Min Z = -3X 1 + X 2 + X 3 Sujeto a: X 1 - 2X 2 +X 3 + X 4 = 11 -4X 1 + X 2 + 2X 3 - X 5 = 3 -2X 1 + X 3 = 1 X i ≥ 0, i=1...5 Agregar variables artificiales: Min Z = -3X 1 + X 2 + X 3 Sujeto a: X 1 - 2X 2 +X 3 + X 4 = 11 -4X 1 + X 2 + 2X 3 - X 5 + X 6 = 3 -2X 1 + X 3 + X 7 = 1 X i ≥ 0, i=1...7 30 Forma canónica X 6 y X 7 : variables artificiales X 4 y X 5 : variables holgura

31 Se asigna un costo M muy grande en la función objetivo. -M si es maximización y +M si es minimización. En el ejemplo anterior se asigna un valor M grande como costo a la variables X 6 y X 7. Luego Min Z = -3X 1 + X 2 + X 3 + MX 6 + MX 7 El "Tableau" inicial será : 31 Método Simplex Método de la M grande

32 32 Método Simplex Método de la M grande (Ejemplo) 2 1 Las variables X 6 y X 7 son ceros, luego se encontró una solución factible al problema original. 3 Tableau óptimo

33 Se podrían haber omitido las columnas de las variables artificiales en la medida que salen de la base. Si en la solución óptima algunas variables artificiales permanecen en la base el problema original es no factible. Presencia de restricciones inconsistentes. En términos económicos no hay recursos suficientes. En el computador M debe tener un valor específico. 33 Método Simplex Método de la M grande: Comentarios

34 Fase 1. Consiste en encontrar una solución básica inicial al problema. Se crea una función objetivo igual a la suma de las variables artificiales. Si el mínimo es cero todas las variables se han reducido a cero y tenemos una solución básica factible al problema original, de lo contrario el problema no es factible. Fase 2. La solución básica encontrada se optimiza con respecto a la función objetivo original. El Tableau final de la fase 1 es el Tableau inicial para la fase 2. 34 Método Simplex Método de las Dos Fases

35 Método Simplex Método de las Dos Fases (Siguiendo con el ejemplo) Min Z = -3X1 + X2 + X3 Sujeto a: X1 - 2X2 +X3 + X4 = 11 -4X1 + X2 + 2X3 - X5 + X6 = 3 -2X1 + X3 + X7 = 1 Xi ≥ 0, i=1...7 Min W = X6 + X7 Sujeto a: X1 - 2X2 +X3 + X4 = 11 -4X1 + X2 + 2X3 - X5 + X6 = 3 -2X1 + X3 + X7 = 1 Xi ≥ 0, i=1...7 35 Siempre se querrá minimizar las variables ficticias.

36 La función; Z = -3X1 + X2 + X3 se reemplaza temporalmente por W = X6 + X7 36 Método Simplex Método de las Dos Fases (Ejemplo: Fase 1) 12 3

37 La solución óptima de la fase 1 es : X1 = 0, X2 = 1, X3 = 1, X4 = 12, X5 = 0, X6 = 0 y X7 = 0 Las variables artificiales son cero y este Tableau representa la solución factible. Para la segunda fase : Se eliminan las variables artificiales. Se agrega de nuevo la función objetivo. 37 Método Simplex Método de las Dos Fases (Ejemplo: Fase 1)

38 38 Método Simplex Método de las Dos Fases (Ejemplo: Fase 2) 1 2 El óptimo es: X 1 =4, X 2 =1, X 3 =9, X 4 =0, X 5 =0 y Z=-2.

39 Considere el siguiente conjunto de restricciones: 2 X1 - 3 X2 = -3(1) 4 X1 + 5 X2 ≥ 10(2) X1 + 2 X2≤ 5(3) 6 X1 + 7 X2≤ 3(4) 4 X1 + 8 X2≥ 5(5) Suponiendo que X1, X2 ≥0, determine la función objetivo inicial en cada uno de los casos que siguen después de que se sustituyan las variables artificiales bajo la técnica de la M grande y las dos fases. 1.1) Max Z = 5 X1 + 6 X2 considerando las restricciones (1), (3) y (4) 1.2) Max Z = 2 X1 - 7 X2 considerando las restricciones (1), (2), (4) y (5) 1.3) Min Z = 3 X1 + 6 X2 considerando las restricciones (3), (4) y (5) 1.4) Min Z = 4 X1 + 6 X2 considerando las restricciones (1), (2) y (5) 1.5) Min Z = 3 X1 + 2 X2 considerando las restricciones (1) y (5) 39 Problemas Propuestos Método de la M grande y Dos Fases

40 MÉTODO SIMPLEX REVISADO 40

41 Método Simplex Revisado La única información necesaria para pasar de un tableau al siguiente es: 1. Coeficientes de Ganancias Relativas. 2. Columna Pivote. Basándose en esto, el Método Simplex Revisado realiza sólo los cálculos relevantes para la resolución del PPL.

42 Método Simplex Revisado Ejemplo: Maximizar Z = 5X1 + 2X2 + 3X3 - X4 + X5 S.A. X1 + 2X2 + 2X3 + X4 = 8 3X1 + 4X2 + X3 + X5 = 7 X1, X2, X3, X4, X5 ≥ 0

43 Método Simplex Revisado El método simplex requiere: 1. Columna C para determinar cuál variable no básica entra a la base. 2. La columna pivote y las constantes del lado derecho para realizar la regla de la razón mínima. Cada tableau puede ser generado a través de operaciones vector- matriz. Así, se pueden representar las columnas correspondientes al tableau como:

44 Este vector entrega el valor de las variables básicas X3 y X5 Método Simplex Revisado Por ejemplo, el tableau 2 puede ser generado directamente por teoría de matrices Como se observa a continuación, cualquier columna del segundo tableau puede ser obtenida multiplicando la columna original con la matriz base inversa. Por ejemplo Matriz Base

45 Ahora, es necesario conocer las ganancias relativas. Los valores de C se calculan de la siguiente forma en el método simplex original. O en general con Sea Cuyos elementos son llamados “multiplicadores simplex” Método Simplex Revisado

46 Entonces Por ejemplo Luego X1 es la nueva variable básica Método Simplex Revisado

47 Ahora se debe encontrar la variable que deja la base. Para aplicar la regla de la razón mínima es necesario encontrar las constantes del lado derecho y la columna pivote. Aplicando la razón mínima, se obtiene que la variable que sale es X5. Las nuevas variables básicas son X3 y X1. Luego la nueva matriz base y su inversa quedan respectivamente: (Correspondientes a las ecuaciones originales) Método Simplex Revisado

48 Las nuevas constantes del lado derecho se obtienen por: Así la nueva solución básica es X3= 17/5, X1 = 6/5, X2 = X4 = X5 = 0. Para saber si la solución es óptima se calculan las nuevas ganancias relativas. Recordar que y Entonces Método Simplex Revisado

49 Así, las ganancias relativas son: Como los coeficientes de ganancia relativa son negativos, la solución es óptima. Método Simplex Revisado

50 Resumen: Método Simplex Revisado

51 Ejemplo: Minimizar Z = -3X1 + X2 + X3 S.A. X1 - 2X2 + X3 <= 11 -4X1 + X2 + 2X3 >=3 2X1 - X3 = -1 X1, X2, X3 >= 0 En forma estándar queda: Minimizar: Z = -3X1 + X2 + X3 S.A. X1 - 2X2 + X3 + X4 = 11 -4X1 + X2 + 2X3 - X5 = 3 -2X1 + X3 = 1 X1, X2, X3, X4, X5 >= 0 Método Simplex Revisado

52 Se agregan las variables artificiales X6 y X7. X1 - 2X2 + X3 + X4 = 11 X1 - 2X2 + X3 + X4 = 11 -4X1 + X2 + 2X3 - X5 + X6 = 3 -4X1 + X2 + 2X3 - X5 + X6 = 3 -2X1 + X3 + X7 = 1 -2X1 + X3 + X7 = 1 X1, X2, X3, X4, X5 >= 0 X1, X2, X3, X4, X5 >= 0 Utilizando el método de la M grande: Minimizar: Z = -3X1 + X2 + X3 + MX6 + MX7 Se tiene: Método Simplex Revisado

53 Por lo tanto: y El tableau inicial es: Se obtendrán a continuación. Luego, Método Simplex Revisado

54 Los multiplicadores simplex son: Como Entra a la base Método Simplex Revisado

55 La columna pivote se obtiene por: Luego en el tableau 1 se realiza la operación pivote, resultando: Se obtendrán a continuación. Por razón mínima, X3 reemplaza a X7 Tableau 2 Método Simplex Revisado

56 Los multiplicadores simplex son: Además: Por lo tanto X2 entra a la base. La columna pivote se obtiene por: Por razón mínima, X2 reemplaza a X6 Método Simplex Revisado

57 Luego en el tableau 2 se realiza la operación pivote, resultando: Se obtendrán a continuación. Los multiplicadores simplex son: Además: Por lo tanto X1 entra a la base. Tableau 2 Método Simplex Revisado

58 La columna pivote se obtiene por: Por razón mínima, X1 reemplaza a X4 y el nuevo tableau está dado por Tableau 3 Método Simplex Revisado

59 Los multiplicadores simplex son: Además: Por lo tanto el Tableau 3 es óptimo. La solución óptima está dada por: X1 = 4 X2 = 1 X3 = 9 X4 = 0 X5 = 0 El valor óptimo de la FO es Método Simplex Revisado

60 Ejemplo: Maximizar Z = 3X1 + 2X2 + 5X3 S.A. X1 + 2X2 + X3 + X4 = 30 S.A. X1 + 2X2 + X3 + X4 = 30 3X1 + 2X3 + X5 = 60 3X1 + 2X3 + X5 = 60 X1 + 4X2 +X6 = 20 X1 + 4X2 +X6 = 20 X1, X2, X3, X4, X5, X6 >= 0 X1, X2, X3, X4, X5, X6 >= 0 Para la siguiente base intermedia: (X5, X3, X6), 1.Determine las restricciones asociadas a la iteración correspondiente 2.Demuestre e indique si la base es factible 3.Demuestre e indique, en forma independiente si la solución cumple optimalidad 4.Encuentre la variable más adecuada para entrar a la base (justifique) 5.Determine la variable que debiera salir de la base (justifique) Método Simplex Revisado