Proporcionalidad numérica Una de las expresiones de la proporcionalidad, los porcentajes, es de uso generalizado en el mundo actual, para relativizar en una escala simple las diversas magnitudes, como ocurre, por ejemplo, en las multas por exceso de velocidad.

Razón y proporción Una razón entre dos números, a y b, es el cociente . Una proporción es la igualdad entre dos razones. La razón entre a y b es La razón entre c y d es En esta proporción, a y d se llaman extremos, y b y c son los medios. Llamamos constante, o constante de proporcionalidad, de una proporción al cociente de cualquiera de sus razones.

Término desconocido de una proporción En una proporción, el producto de extremos es igual al producto de medios. Ejemplo: Cálculo del término desconocido a) b)

Término desconocido de una proporción En una proporción, el producto de extremos es igual al producto de medios. Ejemplo: Cálculo del término desconocido a) b)

Término desconocido de una proporción En una proporción, el producto de extremos es igual al producto de medios. Ejemplo: Cálculo del término desconocido a) b)

Término desconocido de una proporción En una proporción, el producto de extremos es igual al producto de medios. Por ejemplo: a) Sí son proporción. b) No son proporción.

Magnitudes directamente proporcionales Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por ese mismo número. Un coche gasta de media 10 litros cada 125 km. Comprobamos si las magnitudes distancia (kilómetros) y gasolina (litros) son magnitudes directamente proporcionales.

Magnitudes directamente proporcionales Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por ese mismo número. Un coche gasta de media 10 litros cada 125 km. Comprobamos si las magnitudes distancia (kilómetros) y gasolina (litros) son magnitudes directamente proporcionales. DISTANCIA 125 250 500 1.000 GASOLINA 10 20 40 80

Magnitudes directamente proporcionales Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por ese mismo número. Un coche gasta de media 10 litros cada 125 km. Comprobamos si las magnitudes distancia (kilómetros) y gasolina (litros) son magnitudes directamente proporcionales. DISTANCIA 125 250 500 1.000 GASOLINA 10 20 40 80 Al formar series de razones iguales de ambas magnitudes, la constante siempre es la misma:

Magnitudes directamente proporcionales Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por ese mismo número. Un coche gasta de media 10 litros cada 125 km. Comprobamos si las magnitudes distancia (kilómetros) y gasolina (litros) son magnitudes directamente proporcionales. DISTANCIA 125 250 500 1.000 GASOLINA 10 20 40 80 Al formar series de razones iguales de ambas magnitudes, la constante siempre es la misma:

Problemas de magnitudes directamente proporcionales REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA Una máquina produce 800 tornillos en 5 horas. ¿Cuánto tiempo tardará la máquina en fabricar 1.000 tornillos?

Problemas de magnitudes directamente proporcionales REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA Una máquina produce 800 tornillos en 5 horas. ¿Cuánto tiempo tardará la máquina en fabricar 1.000 tornillos? TORNILLOS 800 1.600 2.400 … HORAS 5 10 15

Problemas de magnitudes directamente proporcionales REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA Una máquina produce 800 tornillos en 5 horas. ¿Cuánto tiempo tardará la máquina en fabricar 1.000 tornillos? TORNILLOS 800 1.600 2.400 … HORAS 5 10 15

Problemas de magnitudes directamente proporcionales REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA Una máquina produce 800 tornillos en 5 horas. ¿Cuánto tiempo tardará la máquina en fabricar 1.000 tornillos? TORNILLOS 800 1.600 2.400 … HORAS 5 10 15 Las magnitudes son directamente proporcionales.

Problemas de magnitudes directamente proporcionales REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA Una máquina produce 800 tornillos en 5 horas. ¿Cuánto tiempo tardará la máquina en fabricar 1.000 tornillos? TORNILLOS 800 1.600 2.400 … HORAS 5 10 15 Las magnitudes son directamente proporcionales. Formamos una proporción y calculamos el valor desconocido:

Problemas de magnitudes directamente proporcionales REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA Una máquina produce 800 tornillos en 5 horas. ¿Cuánto tiempo tardará la máquina en fabricar 1.000 tornillos? TORNILLOS 800 1.600 2.400 … HORAS 5 10 15 Las magnitudes son directamente proporcionales. Formamos una proporción y calculamos el valor desconocido:

Magnitudes inversamente proporcionales Dos magnitudes son inversamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada) por ese mismo número. Un barco de pesca de 12 tripulantes tiene víveres y alimentos para navegar 70 días. Si en un puerto se añaden 12 tripulantes, ¿Cuántos días durarán los víveres?

Magnitudes inversamente proporcionales Dos magnitudes son inversamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada) por ese mismo número. Un barco de pesca de 12 tripulantes tiene víveres y alimentos para navegar 70 días. Si en un puerto se añaden 12 tripulantes, ¿Cuántos días durarán los víveres? Tripulantes 12 24 Días 70 x

Magnitudes inversamente proporcionales Dos magnitudes son inversamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada) por ese mismo número. Un barco de pesca de 12 tripulantes tiene víveres y alimentos para navegar 70 días. Si en un puerto se añaden 12 tripulantes, ¿Cuántos días durarán los víveres? Tripulantes 12 24 Días 70 x Al aumentar el número de los tripulantes un cierto número, disminuyen los días de alimento en el mismo número.

Magnitudes inversamente proporcionales Dos magnitudes son inversamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada) por ese mismo número. Un barco de pesca de 12 tripulantes tiene víveres y alimentos para navegar 70 días. Si en un puerto se añaden 12 tripulantes, ¿Cuántos días durarán los víveres? Tripulantes 12 24 Días 70 x Al aumentar el número de los tripulantes un cierto número, disminuyen los días de alimento en el mismo número. Las magnitudes son inversamente proporcionales.

Magnitudes inversamente proporcionales Dos magnitudes son inversamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada) por ese mismo número. Un barco de pesca de 12 tripulantes tiene víveres y alimentos para navegar 70 días. Si en un puerto se añaden 12 tripulantes, ¿Cuántos días durarán los víveres? Tripulantes 12 24 Días 70 x Al aumentar el número de los tripulantes un cierto número, disminuyen los días de alimento en el mismo número. Las magnitudes son inversamente proporcionales.

Problemas de magnitudes inversamente proporcionales REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA Un coche a una velocidad de 100 km/h tarda 3 horas en realizar un trayecto. ¿Cuánto tiempo tardará en hacer este trayecto si va a 90 km./h?

Problemas de magnitudes inversamente proporcionales REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA Un coche a una velocidad de 100 km/h tarda 3 horas en realizar un trayecto. ¿Cuánto tiempo tardará en hacer este trayecto si va a 90 km./h? VELOCIDAD 100 200 300 … TIEMPO 3 1,5 1

Problemas de magnitudes inversamente proporcionales REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA Un coche a una velocidad de 100 km/h tarda 3 horas en realizar un trayecto. ¿Cuánto tiempo tardará en hacer este trayecto si va a 90 km./h? VELOCIDAD 100 200 300 … TIEMPO 3 1,5 1

Problemas de magnitudes inversamente proporcionales REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA Un coche a una velocidad de 100 km/h tarda 3 horas en realizar un trayecto. ¿Cuánto tiempo tardará en hacer este trayecto si va a 90 km./h? VELOCIDAD 100 200 300 … TIEMPO 3 1,5 1 Las magnitudes son inversamente proporcionales.

Problemas de magnitudes inversamente proporcionales REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA Un coche a una velocidad de 100 km/h tarda 3 horas en realizar un trayecto. ¿Cuánto tiempo tardará en hacer este trayecto si va a 90 km./h? VELOCIDAD 100 200 300 … TIEMPO 3 1,5 1 Las magnitudes son inversamente proporcionales. Formamos una proporción inversa y calculamos el valor desconocido:

Problemas de magnitudes inversamente proporcionales REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA Un coche a una velocidad de 100 km/h tarda 3 horas en realizar un trayecto. ¿Cuánto tiempo tardará en hacer este trayecto si va a 90 km./h? VELOCIDAD 100 200 300 … TIEMPO 3 1,5 1 Las magnitudes son inversamente proporcionales. Formamos una proporción inversa y calculamos el valor desconocido:

Porcentaje Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplicamos esa cantidad por el tanto por ciento y lo dividimos entre 100. EXPRESIÓN % SIGNIFICA FRACCIÓN VALOR SE LEE El 0,55 de la población son mujeres 55% De cada 100 habitantes 55 son mujeres 0,55 Cincuenta y cinco por ciento Efectividad en tiros de dos puntos del 9% 9% De cada 100 tiros lanzados se encestan 9 0,09 Nueve por ciento Rebajas del 30% 30% De cada 100 euros de compra nos descuentan 30 euros 0,3 Treinta por ciento

Problemas de porcentaje Paradojas con porcentajes: Dos amigos han tirado con arco varias veces en dos torneos. Los resultados son: TIRADOR FLECHAS ACIERTOS PRIMER TORNEO Pepe 10 8 Jesús 16 12 SEGUNDO TORNEO 36 20 4

Problemas de porcentaje Paradojas con porcentajes: Dos amigos han tirado con arco varias veces en dos torneos. Los resultados son: TIRADOR FLECHAS ACIERTOS PRIMER TORNEO Pepe 10 8 Jesús 16 12 SEGUNDO TORNEO 36 20 4 En el primer torneo, los porcentajes de aciertos fueron: En el segundo torneo, los porcentajes de aciertos fueron:

Problemas de porcentaje Paradojas con porcentajes: Dos amigos han tirado con arco varias veces en dos torneos. Los resultados son: TIRADOR FLECHAS ACIERTOS PRIMER TORNEO Pepe 10 8 Jesús 16 12 SEGUNDO TORNEO 36 20 4 En el primer torneo, los porcentajes de aciertos fueron: En el segundo torneo, los porcentajes de aciertos fueron:

Problemas de porcentaje Paradojas con porcentajes: Dos amigos han tirado con arco varias veces en dos torneos. Los resultados son: TIRADOR FLECHAS ACIERTOS PRIMER TORNEO Pepe 10 8 Jesús 16 12 SEGUNDO TORNEO 36 20 4 En el primer torneo, los porcentajes de aciertos fueron: En el segundo torneo, los porcentajes de aciertos fueron: En cada uno de los torneos, Pepe tiene un porcentaje mayor de aciertos que Jesús.

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Problemas de porcentaje Paradojas con porcentajes: ¿Qué ocurre si consideramos los datos globalmente? Pepe lanzó en total: Y consiguió acertar: Su porcentaje global de aciertos fue: Jesús lanzó en total: Y consiguió acertar: Su porcentaje global de aciertos fue: Se produce la paradoja de que es Jesús quien tiene mayor porcentaje de aciertos.