MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I 1º BTO A 23/02/2019 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I 1º BTO A Colegio Ntra. Sra. del Buen Consejo (Agustinas) 23/02/2019 Juan Antonio Romano Largo

TEMA 3: Ecuaciones y sistemas. Ecuaciones de 2º grado. Fórmula general. Ecuaciones de 2º grado incompletas. Ecuaciones bicuadradas. Ecuaciones racionales. Ecuaciones con radicales. Sistemas de dos ecuaciones. Sistemas de tres ecuaciones. Método de Gauss. 23/02/2019 Juan Antonio Romano Largo

Ecuaciones de 2º grado. 3x2 – 18x + 19 = 12x – 29 Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la que aparecen números y letras ligados por operaciones. Las letras representan cantidades indeterminadas, y se llaman incógnitas. Una igualdad que es cierta para cualquier valor de las variables es una identidad. Incógnita Igualdad 3x2 – 18x + 19 = 12x – 29 1er miembro 2o miembro Una ecuación de segundo grado puede escribirse de la forma: ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0

Fórmula general. ax2+ bx+ c = 0 4a 4a2x2+4abx+4ac = 0 Se multiplica por 4a: 4a2x2+4abx+4ac = 0 4a2x2+4abx+4ac = 0 + b2 Se suma b2: 4a2x2+4abx+4ac + b2 = b2 4a2x2+4abx+ 4ac+ b2 = b2 – 4ac Se resta 4ac: 4a2x2+4abx+ b2 = b2 – 4ac (2ax + b)2 = b2 – 4ac Se factoriza:

b2 – 4ac = 0 una solución doble. Se despeja la incógnita: Si b2 – 4ac > 0 dos soluciones reales. b2 – 4ac = 0 una solución doble. b2 – 4ac < 0 ninguna solución real.

Ecuaciones de segundo grado incompletas. Si c = 0: ax2 + bx = 0 se extrae factor común a x: x·(ax + b) = 0 una solución es: x = 0 la otra es: ax + b = 0  x = -b/a Si b = 0: ax2 + c = 0 se despeja: ax2 = -c x2 = -c/a las soluciones son: 23/02/2019 Juan Antonio Romano Largo

Ecuaciones bicuadradas. Una ecuación bicuadrada puede escribirse de la forma: ax4 + bx2 + c = 0 con a ≠ 0 Para encontrar las soluciones de 4x4 – 5x2 + 1 = 0 Cambio de variable x2 = t 4t2 – 5t + 1 = 0 t = 1, t = 1/4 Se resuelve la ecuación en t x2 =1  x = 1, x = – 1 Se deshace el cambio x2 = 1/4  x = 1/2, x = – 1/2 x = 1, x = – 1, x = 1/2, x = – 1/2 Las soluciones de la ecuación son 23/02/2019 Juan Antonio Romano Largo

Ecuaciones racionales. Una ecuación racional se resuelve eliminando los denominadores, para lo cual se multiplica por el mínimo común múltiplo de los denominadores y luego se resuelve la ecuación polinómica resultante. Siempre tenemos que comprobar las soluciones. Ejemplo: 23/02/2019 Juan Antonio Romano Largo

Ecuaciones con radicales. Para encontrar las soluciones de 2x + 7 – x = 2 Se aísla una de las raíces 2x + 7 = 2 + x Se eleva al cuadrado 2x + 7 = 4 + 4 x + x Se aísla la raíz que queda 4 x = x + 3 Se eleva al cuadro y se resuelve la ecuación (x + 3)2 = 16 x Soluciones: x = 1; x = 9 Se comprueba si son soluciones En este caso x=1; x = 9 son soluciones de la ecuación 23/02/2019 Juan Antonio Romano Largo

Sistemas de dos ecuaciones. Tenemos dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. El objetivo es encontrar una solución ,es decir, los valores de las incógnitas que satisfacen las ecuaciones. El sistema puede ser: INCOMPATIBLE (No tiene solución) COMPATIBLE DETERMINADO (Tiene una sola solución) COMPATIBLE INDETERMINADO (Tiene infinitas soluciones) Método de sustitución. Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituirla en la otra. 23/02/2019 Juan Antonio Romano Largo

Juan Antonio Romano Largo Método de igualación. Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualarlas. Método de reducción. Consiste en multiplicar a las ecuaciones por un número para conseguir que el coeficiente de una de las incógnitas sea el mismo en las dos ecuaciones. Luego sumamos o restamos las ecuaciones para eliminar esa incógnita. 23/02/2019 Juan Antonio Romano Largo

Sistemas de tres ecuaciones. Método de Gauss. (1ª ec) (–2) + 2ª ec (1ª ec) (–2) + 3ª ec (2ª ec) (–1) + 3ª ec  Se despejan incógnitas hacia arriba