Límite finito en el infinito Se considera la función f(x) = 5000x / (x + 1000), x  0. Su comportamiento cuando x toma valores cada vez mayores es el siguiente: Final El límite de una función cuando x tiende a infinito es L si los valores de la función se hacen tan próximos a L como se quiera al hacer x suficientemente grande.

Límite infinito en el infinito Se considera la función f(x) = x2. Su comportamiento cuando x toma valores cada vez mayores es el siguiente: y = L Dado un número L, por grande que sea, siempre podemos conseguir que la función se coloque por encima de la recta horizontal y = L Final El límite de una función cuando x tiende a infinito es infinito si los valores de la función se hacen tan grandes como se quiera al hacer x suficientemente grande.

Algunas definiciones de límite de una función en el infinito Final El límite de f(x) cuando x tiende a infinito es L si para todo número e > 0 se tiene |f(x) - L| < e si x > K, donde K debe ser elegido en función de e. El límite de f(x) cuando x tiende a menos infinito es L si para todo número e > 0 se tiene |f(x) - L| < e si x < K, donde K debe ser elegido en función de e. El límite de f(x) cuando x tiende a infinito es infinito si para todo número L se tiene f(x) > L si x > K, donde K debe ser elegido en función de e. El límite de f(x) cuando x tiende a menos infinito es menos infinito si para todo número L se tiene f(x) < L si x < K, donde K debe ser elegido en función de e.

Aproximación a un punto. Concepto de límite Se considera la función f(x) = (x2 – 1)/(x – 1). Su comportamiento cuando x toma valores cada vez más próximos a 1, pero mayores que 1 es el siguiente: Final El límite de una función cuando x tiende a p por la derecha es L si los valores de la función se hacen tan próximos a L como se quiera al hacer x suficientemente próximo a p, con valores mayores que p. El comportamiento de la función anterior cuando x toma valores cada vez más próximos a 1, pero menores que 1 es el siguiente: El límite de una función cuando x tiende a p por la izquierda es L si los valores de la función se hacen tan próximos a L como se quiera al hacer x suficientemente próximo a p, con valores menores que p.

Definición de límite de una función en un punto El límite de f(x) cuando x tiende a p por la izquierda es L si para todo número e > 0 se tiene |f(x) – L| < e si p – d < x < p , donde d debe ser elegido en función de e. Es importante observar que no es necesario que la función esté definida en p El límite de f(x) cuando x tiende a p por la derecha es L si para todo e > 0 se tiene |f(x) – L| < e si p < x < p + d , donde d debe ser elegido en función de e. Es importante observar que no es necesario que la función esté definida en p El límite de f(x) cuando x tiende a p es L si para todo número e > 0 se tiene |f(x) – L| < e si |x - p| < d , donde d debe ser elegido en función de e. Es importante observar que una función tiene límite en un punto p si tiene límites por la izquierda y por la derecha en p y ambos coinciden. Final

Ejemplos de límites laterales en un punto de una función Final

Límite infinito en un punto Se considera la función A(x) = -3/(x - 3). Su comportamiento cuando x toma valores cada vez más próximos a 3 por la derecha y por izquierda es : El límite de una función cuando x tiende a p por la (izquierda) derecha es infinito si los valores de la función se hacen tan grandes como se quiera al hacer x suficientemente próximo a p, pero menor (mayor) que p. Final

Técnicas para el cálculo de límites de funciones Final Estos resultados valen también cuando p es  o – , y para límites laterales

Expresiones determinadas e indeterminadas Cuando se manejan límites cuyo valor es infinito es necesario tener en cuenta que: Los teoremas anteriores nos permiten el cálculo del límite de la operación de dos funciones, aun sin conocerlas: en este caso se dice que el límite es determinado. Cuando no podemos determinar el límite de la operación de dos funciones a priori, siendo necesario conocer las funciones para poder calcularlo, decimos que el límite es indeterminado. Entonces no es posible aplicar ninguno de los teoremas anteriores. Final

Algunos límites indeterminados Final

Continuidad. Puntos de discontinuidad f(p) (p, f(p)) p p Final Una función es continua en un intervalo I = (a, b) si I está en el dominio de f y f es continua en todos los puntos del intervalo I

Asíntotas verticales La recta x = p es una asíntota vertical de la función f(x) si el límite de la función cuando x tiende a p, por la derecha o por la izquierda, es infinito o menos infinito x = 1 Final

Comportamiento en torno a la asíntota vertical Final

Asíntotas horizontales Final

Asíntotas oblicuas x2 + x – 1 f(x) = tiene como asíntota oblicua x y = x + 1 para x y para x –  x2 + x – 1 x g(x) = no tiene asíntotas oblicuas x3 + 2 x Final

tiene una asíntota horizontal El número e f(x) = tiene una asíntota horizontal Su valor es: 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762724076630353547594571382178525166427... y = e Final

Límites en los que aparece el número e Se tienen entonces los siguientes resultados: ea siendo a  R y no nulo. eb siendo b  R cualquiera. eab siendo a  R y no nulo, b  R cualquiera. Final