LA CIRCUNFERENCIA R

¿Qué figuras tienen la forma de círculo y circunferencia?

Actividad CIRCUNFERENCIA S P R O: Centro R R OP=OQ=OT=OS=…:Radio T Q Es el conjunto de todos los puntos que se encuentran en un mismo plano y equidistan de un mismo punto fijo; el cual representa al centro de la circunferencia

ACTIVIDAD

ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA Flecha o sagita Q  P Recta secante Cuerda PQ Radio Arco BQ A B  interactúa Diámetro AB ( ) Centro T  Punto de tangencia Recta tangente

PROPIEDADES BÁSICAS DE LA CIRCUNFERENCIA ACTIVIDAD Radio Recta Tangente 1.-Recta Tangente Todo radio trazado a un punto de tangencia resulta perpendicular a la recta tangente que determina dicho punto de tangencia

02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes). ON : radio DN : Diámetro EF : Cuerda ACTIVIDAD

Actividad P Q M N R

03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas. B C D

Las cuerdas equidistan del centro 04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes. A B C D Cuerdas congruentes Las cuerdas equidistan del centro Arcos congruentes

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS 01.- Circunferencias concéntricas tienen un mismo centro ET=TF T punto de tangencia

02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común. Distancia entre los centros (d) d > R + r

03. - CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES 03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto común que es la de tangencia. Punto de tangencia R r R r Distancia entre los centros (d) d = R + r

04. - CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES 04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en común que es la de tangencia. Punto de tangencia R r R d d = R - r d: Distancia entre los centros

05.-CIRCUNFERENCIAS SECANTES Tienen dos puntos comunes

R r ( R – r ) < d < ( R + r ) 5.1.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones. R r Distancia entre los centros (d) ( R – r ) < d < ( R + r )

5. 2. - CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES 5.2.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección. R r Distancia entre los centros (d) d2 = R2 + r2

06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes. d d < R - r d: Distancia entre los centros

PROPIEDADES DE LAS TANGENTES 1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes. A B R  P ACTIVIDAD AP = PB

2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes B R r C D AB = CD

3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes. B R C D r AB = CD

a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r ) b a r R c TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble del inradio. a b c Inradio r Circunradio R a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )

TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales. d a b c Cuadrilátero circunscrito a + c = b + d

II.-ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

1. - MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del arco que se opone. A B C r  ACTIVIDAD  = mAB

2. - MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR 2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos B D A C 

3. - MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO 3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida del arco opuesto. A B C  ACTIVIDAD

4. - MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO 4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida del arco opuesto. A B C 

1. - MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de la medida del arco ABC. A B C 

  + mAB = 180° 6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos: A C O B a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos. A B C O   + mAB = 180°

c. - Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos. A B C O 

b. - Ángulo formado por dos rectas secantes b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos. A B C O D 