Campo de direcciones Si para la EDO dy/dx = f(x, y) se evalúa f en una red o malla de puntos rectangular en el plano xy, y se dibuja un elemento lineal en cada nodo (x, y) de la malla con pendiente f(x, y), obtenemos el campo de direcciones o campo de pendientes.

Ejemplo: El campo de direcciones de dy/dx = 0.2 xy está representado en la figura (a). Compárese con la figura (b) donde se han representado unas curvas de la familia de soluciones.

Ejemplo: Use un campo de direcciones para dibujar una curva solución aproximada para dy/dx = sen y, con y(0) = −3/2. Solución: Apelando a la continuidad de f(x, y) = sen y y f/y = cos y, el teorema de existencia y unicidad garantiza la existencia de una única curva solución que pasa por algún punto especificado en el plano. Ahora dividimos la región que contiene a (-3/2, 0) en una malla rectangular. Calculamos el elemento lineal de cada nodo para obtener la siguiente figura:

EDs de primer orden autónomas dy/dx = f(y) Una EDO en la que la variable independiente no aparece de manera explícita es autónoma. Nota: Recordemos que si dy/dx > 0 para todo x de I, entonces y(x) es creciente en I. Y si dy/dx < 0 para todo x de I, entonces y(x) es decreciente en I.

Puntos críticos Los ceros de f en la EDO autónoma dy/dx = f(y) son puntos especialmente importantes. Si f(c) = 0, c es un punto crítico, punto de equilibrio o punto estacionario. Si sustituimos y(x) = c en dy/dx = f(y), obtenemos 0 = 0, de modo que si c es un punto crítico, entonces y(x) = c es una solución de dy/dx = f(y). Una solución y(x) = c constante, se llama solución de equilibrio. Los equilibrios son las únicas soluciones constantes de dy/dx = f(y).

Ejemplo: La siguiente ED, dP/dt = P (a – bP) donde a y b son constantes positivas, es autónoma. De f(P) = P (a – bP) = 0, obtenemos las soluciones de equilibrio: P(t) = 0 y P(t) = a/b. Colocamos los puntos críticos en una recta vertical (recta fase), que la divide en tres intervalos. Las flechas en la figura indican el signo algebraico de f(P) = P (a – bP) en ese intervalo. Si el signo es positivo o negativo, entonces P es creciente o decreciente en este intervalo.

Curvas solución Si garantizamos la existencia y unicidad de la EDO autónoma dy/dx = f(y), (f y f  son continuas en un intervalo I), por cada punto (x0, y0) en R, pasa una sola curva solución.

Supongamos que la EDO autónoma presenta dos puntos críticos, c1, y c2, tales que c1 < c2. Las gráficas de las soluciones de equilibrio y(x) = c1, y(x) = c2 son rectas horizontales y dividen R en tres regiones, a los que podemos llamar R1, R2 y R3 como en la figura.

(1) Si (x0, y0) está en Ri, i = 1, 2, 3, una solución y(x) que pasa por (x0, y0), permanecerá en la misma subregión. (2) Por continuidad de f , f(y) es mayor o menor que cero y no puede cambiar de signo en una subregión. (3) Como dy/dx = f(y(x)) es o positiva o negativa en Ri, cualquier solución y(x) es monótona en Ri. (4) Si y(x) está acotada superiormente por c1, (y(x) < c1), la gráfica de y(x) se aproximará a la solución de equilibrio y(x) = c1 cuando x   o x  -. Si está acotada c1 < y(x) < c2, se aproximará a y(x) = c1 e y(x) = c2. cuando x   o x  -. Y por último, si está acotada inferiormente, c2 < y(x) , se aproximará a y(x) = c2 cuando x   o x  -. .

En el ejemplo dP/dt = P (a – bP): P = 0 y P = a/b son dos puntos críticos, por tanto tenemos tres intervalos para P: R1 : (-, 0) R2 : (0, a/b) R3 : (a/b, ) Sea P(0) = P0. Cuando una solución pasa por P0, tenemos tres tipos de curvas solución dependiendo del intervalo al que pertenece P0.

La ED dy/dx = (y – 1)2 tiene un único punto crítico y = 1 La ED dy/dx = (y – 1)2 tiene un único punto crítico y = 1. Desde la gráfica, llegamos a la conclusión de que una solución y(x) es creciente en - < y < 1 y 1 < y < , donde - < x < .

Atractores y repulsores: hay tres tipos de comportamiento que y(x) puede exhibir en las cercanías de un punto crítico c. (a) Cuando ambas flechas apuntan a c, y(x) se aproximará a c. Este tipo de punto crítico se denomina asintóticamente estable. El punto c se denomina atractor. (b) Cuando ambas flechas no apuntan a c, y(x) se alejará de c. Este tipo de punto crítico se denomina inestable. El punto c se denomina repulsor o repulsivo. (c) y (d) Cuando y0 a un lado de c es atraído por c y repelido por el otro lado. Este tipo de puntos críticos se denomina semiestables.

EDO autónomas y campos de direcciones La figura muestra el campo de direcciones de dy/dx = 2y – 2. Podemos observar que los elementos lineales que pasan por los puntos de cualquier recta horizontal mantienen la pendiente. Recordemos que una EDO autónoma es de la forma dy/dx = f(y), y las pendientes sólo dependen de y.