RESOLUCIÓN DE SISTEMAS U.D. 1 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. SISTEMAS ESCALONADOS U.D. 1.3 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. SISTEMAS ESCALONADOS Sea el sistema de orden dos: ax + by = c b’y =c’ Sea el sistema de orden tres: ax + by + cz = d b’y + c’z =d’ c”z =d” Ambos sistemas se llaman escalonados, puesto que resolviendo consecutivamente las ecuaciones de abajo hacia arriba nos permiten fácilmente deducir el valor de cada incógnita, siempre que el sistema sea compatible y determinado. Otra ventaja de dicha estructura es poder ver rápidamente si el sistema es o no compatible. Todos los sistemas se pueden convertir en sistemas equivalentes escalonados. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. SISTEMAS ESCALONADOS SISTEMAS ESCALONADOS EJEMPLO_1 3x + 5y = 13 (1) 2y = 4 (2) De la (2)  y = 4/2=2 En la (1)  3x + 10 = 13  3x = 3  x = 1 EJEMPLO_2 4x + y + 7z = - 6 (1) 2y + 3z = – 1 (2) 5z = – 5 (3) De la (3)  z = – 5 / 5 = – 1 En la (2)  2y – 3 = – 1  2y = 2  y = 1 En la (3)  4x + 1 – 7 = – 6  4x = 0  x = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. OTROS S. ESCALONADOS SISTEMAS ESCALONADOS EJEMPLO_3 -7y - 3z = 7 (1) 3x + 5y + z = 2 (2) 5z = – 10 (3) Variando el orden de las ecuaciones: 3x + 5y + z = 2 (1) -7y - 3z = 7 (2) 5z = – 10 (3) Resolución: De la (3)  z = - 2 En la (2)  - 7y + 6 = 13  - 7y = 7  y = - 1 En la (1)  3x – 5 – 2 = 2  3x = 9  x = 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. TRANSFORMACIÓN Sea el sistema de orden dos: ax + by = c (1) a’x + b’y = c’ (2) Para transformar el sistema dado en otro equivalente de forma escalonado se procederá en dos pasos: 1º.- Dividir la (1) entre el valor de “a”. Quedará: x + my = n (1) a’x + b’y = c’ (2) 2º.- A la ecuación (2) la restamos la (1) multiplicada por “a’”. Quedará ya escalonado: x + my = n (1) py = q (2) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. TRANSFORMACIÓN Ejemplo Ejemplo Sea el sistema de orden dos: 2x – 4y = 10 (1) 3x + 7y = - 11 (2) 1º.- Divido la (1) entre 2: x – 2y = 5 (1) 3x + 7y = - 11 (2) 2º.- A la ecuación (2) la restamos la (1) multiplicada por 3: x – 2y = 5 (1) 13y = - 26 (2) Y queda escalonado. Resolviendo el sistema: y = - 2  x = 5+2y = 5 – 4 = 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. TRANSFORMACIÓN TRANSFORMACIÓN Sea el sistema de orden tres: ax + by + cz = d (1) a’x + b’y + c’z = d’ (2) a”x + b”y + c”z = d” (3) Para transformar el sistema dado en otro equivalente de forma escalonado se procederá en tres pasos: 1º.- Dividir la (1) entre el valor de “a”. Quedará: x + my + nz = p (1) 2º.- A la ecuación (2) la restamos la (1) multiplicada por a’. Y a la ecuación (3) la restamos la (1) multiplicada por a”. Quedará: x + my + nz = p (1) ey + fz = g (2) ky + qz = t (3) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. TRANSFORMACIÓN TRANSFORMACIÓN 3º.- A la ecuación (3) la restamos la (2) multiplicada por k/e. Quedará ya escalonado: x + my + nz = p (1) ey + fz = g (2) + hz = r (3) Para otros sistemas se seguirá la estrategia más conveniente a cada caso, aunque se recomienda utilizar el método expuesto. No obstante la clave estará en conseguir que el coeficiente de x en la primera ecuación sea la unidad. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. TRANSFORMACIÓN Ejemplo Ejemplo Sea el sistema de orden tres: 3x + 6y + 9z = 18 (1) 2x + 5y + 7z = 13 (2) 5x + 3y + 2z = 10 (3) 1º.- Divido la (1) entre 3: x + 2y + 3z = 6 (1) 2º.- A la ecuación (2) la restamos la (1) multiplicada por 2. Y a la ecuación (3) la restamos la (1) multiplicada por 5. Quedará: x + 2y + 3z = 6 (1) y + z = 1 (2) – 7y – 13z = – 20 (3) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. TRANSFORMACIÓN TRANSFORMACIÓN 3º.- A la ecuación (3) la sumamos la (2) multiplicada por 7. Quedará finalmente un sistema equivalente al dado pero ya escalonado: x + 2y + 3z = 6 (1) y + z = 1 (2) – 6z = – 13 (3) Resolviéndolo: En la (3): z = 13/6 En la (2): y= 1 – z = 1 – 13/6 = - 7/ 6 En la (1): x= 6 – 2y – 3z = 6 +14/6 – 39/6 = 11 / 6 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.