Números complejos MATEMÁTICAS I

𝑥∈ℝ⇒ 𝑥 2 ≥0 ⇒ 𝑥 2 +1>0 No hay solución real para la ecuación: NÚMEROS COMPLEJOS 𝑥∈ℝ⇒ 𝑥 2 ≥0 ⇒ 𝑥 2 +1>0 No hay solución real para la ecuación: 𝒙 𝟐 +𝟏=𝟎 NECESIDAD DE AMPLIAR ℝ UNIDAD IMAGINARIA: 𝒊 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑖 2 =−1 𝑖= −1

NÚMEROS IMAGINARIOS PUROS NÚMEROS COMPLEJOS NÚMEROS IMAGINARIOS PUROS Son números de la forma 𝑏𝑖, 𝑏∈ℝ Observamos que: 𝑏𝑖 2 = 𝑏 2 · 𝑖 2 = 𝑏 2 · −1 =− 𝑏 2 Por tanto, si 𝑥=𝑏𝑖⇒ 𝑥 2 =− 𝑏 2 ⇒ 𝑥 2 + 𝑏 2 =0 Es decir, 𝑏𝑖 es solución de la ecuación 𝑥 2 + 𝑏 2 =0 Entonces, −𝑏𝑖 también es solución de la ecuación 𝑥 2 + 𝑏 2 =0 puesto que: −𝑏𝑖 2 = (−𝑏) 2 · 𝑖 2 = 𝑏 2 · −1 =− 𝑏 2 𝑥 2 +4=0 ⇒ 𝑥=−2𝑖 𝑥= 2𝑖 𝑥 2 + 𝜋 2 =0 ⇒ 𝑥=−𝜋𝑖 𝑥= 𝜋𝑖 𝑥 2 + 13 2 =0 ⇒ 𝑥=− 13 𝑖 𝑥= 13 𝑖

ℂ ℝ ℂ= 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, 𝑎,𝑏 ∈ℝ NÚMEROS COMPLEJOS: ℕ= 1, 2, 3, … ℂ= 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, 𝑎,𝑏 ∈ℝ ℕ= 1, 2, 3, … ℂ ℤ= …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … ℚ= 𝑝 𝑞 , 𝑝, 𝑞 ∈ℝ; 𝑞≠0 ℝ 𝕀(𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠)= 2 , 𝜋, 𝜙,… ℐ(𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠)= 𝑏𝑖, 𝑏∈ℝ

ℂ= 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, 𝑎,𝑏 ∈ℝ 𝑎 𝑏 Parte real del nº complejo z: Re(z) NÚMEROS COMPLEJOS ℂ= 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, 𝑎,𝑏 ∈ℝ 𝑎 𝑏 Parte real del nº complejo z: Re(z) Parte imaginaria del nº complejo z: Im(z) EJEMPLOS 𝑧=2+3𝑖 ⇒ 𝑅𝑒 𝑧 =2 𝐼𝑚 𝑧 =3 𝑧=2−3𝑖 ⇒ 𝑅𝑒 𝑧 =2 𝐼𝑚 𝑧 =−3 𝑧=−2−3𝑖 ⇒ 𝑅𝑒 𝑧 =−2 𝐼𝑚 𝑧 =−3 𝑧=−2+3𝑖 ⇒ 𝑅𝑒 𝑧 =−2 𝐼𝑚 𝑧 =3

𝑧=2+3𝑖⇒ 𝑧 =2−3𝑖 𝑧=2−3𝑖⇒ 𝑧 =2+3𝑖 𝑧=−1+5𝑖⇒ 𝑧 =−1−5𝑖 𝑧=5−𝑖⇒ 𝑧 =5+𝑖 NÚMEROS COMPLEJOS CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO Dado el número complejo 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, se denomina conjugado de z, al número complejo: 𝑧 =𝑎−𝑏𝑖 𝑧=2+3𝑖⇒ 𝑧 =2−3𝑖 𝑧=2−3𝑖⇒ 𝑧 =2+3𝑖 𝑧=−1+5𝑖⇒ 𝑧 =−1−5𝑖 𝑧=5−𝑖⇒ 𝑧 =5+𝑖 MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO Dado el número complejo 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, se denomina módulo de z, al número real positivo: 𝑧 =+ 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑧=4+3𝑖⇒ 𝑧 = 4 2 + 3 2 = 25 =5 𝑧=4−3𝑖⇒ 𝑧 = 4 2 + (−3) 2 = 25 =5 𝑧 = 𝑧

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO NÚMEROS COMPLEJOS REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO 𝑧=𝑥+𝑦𝑖 (3, 5) 𝑥=𝑅𝑒(𝑧) 𝑦=𝐼𝑚(𝑧) (−7, 3) 𝒛 𝟏 (𝑥, 𝑦)=Afijo de z 𝒛 𝟐 𝒛 𝟏 =𝟑+𝟓𝒊 𝒛 𝟑 (6, 0) 𝒛 𝟏 =𝟑−𝟓𝒊 𝒛 𝟐 =−𝟕+𝟑𝒊 𝒛 𝟒 𝒛 𝟏 𝒛 𝟑 =𝟔 𝒛 𝟒 =−𝟒𝒊 (0, −4) (3, −5)

ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 NÚMEROS COMPLEJOS ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜: 𝑟= 𝑧 =+ 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑧 tan 𝜑= 𝑏 𝑎 𝑟=|𝑧| 𝐴𝑟𝑔𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜: 𝜑 𝑏 𝜑 𝑎=𝑟·𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑏=𝑟·𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑎 Observamos que: FORMAS DE EXPRESAR UN NÚMERO COMPLEJO Forma binómica: 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 Forma de par: 𝑧= 𝑎, 𝑏 Forma trigonométrica: 𝑧=𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜑+𝑖·𝑠𝑒𝑛𝜑) Forma polar: 𝑧= 𝑟 𝜑

FORMAS DE EXPRESAR UN NÚMERO COMPLEJO: Cambios de forma NÚMEROS COMPLEJOS FORMAS DE EXPRESAR UN NÚMERO COMPLEJO: Cambios de forma Dado un número complejo en forma binómica: 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 𝑟= 𝑧 = 2 2 + −3 2 = 13 𝑧=2−3𝑖 𝜑= 𝑎𝑟𝑐 tan −3 2 ≅−56° 18 ′ 36′′~303° 41 ′ 24′′ Forma trigonométrica: 𝑧= 13 𝑐𝑜𝑠303° 41 ′ 24 ′′ +𝑖·𝑠𝑒𝑛303° 41 ′ 24′′ Forma polar: 𝑧= 13 303° 41 ′ 24′′ Dado un número complejo en forma polar: 𝑧= 𝑟 𝜑 𝑧= 5 60° Forma trigonométrica: 𝑧=5 𝑐𝑜𝑠60°+𝑖·𝑠𝑒𝑛60° =5 1 2 +𝑖· 3 2 Forma binómica: 𝑧= 5 2 + 5 3 2 𝑖

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS SUMA Y DIFERENCIA 𝑧 1 =𝑎+𝑏𝑖 𝑧 2 =𝑐+𝑑𝑖 ⟹ 𝑧 1 + 𝑧 2 = 𝑎+𝑐 + 𝑏+𝑑 𝑖 𝑧 1 − 𝑧 2 = 𝑎−𝑐 + 𝑏−𝑑 𝑖 𝑧 1 =2+3𝑖 𝑧 2 =1−5𝑖 ⟹ 𝑧 1 + 𝑧 2 =3−2𝑖 𝑧 1 − 𝑧 2 =1+8𝑖 𝑧 3 =−3+2𝑖 𝑧 4 =−1−2𝑖 ⟹ 𝑧 3 + 𝑧 4 =−4 𝑧 3 − 𝑧 4 =−2+4𝑖

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS PRODUCTO (forma binómica) 𝑧 1 =𝑎+𝑏𝑖, 𝑧 2 =𝑐+𝑑𝑖 𝑧 1 · 𝑧 2 =𝑎·𝑐+𝑎·𝑑𝑖+𝑐·𝑏𝑖+𝑏·𝑑· 𝑖 2 = 𝑎𝑐−𝑏𝑑 + 𝑎𝑑+𝑏𝑐 𝑖 𝑧 1 =2+3𝑖 𝑧 2 =1−5𝑖 ⟹ 𝑧 1 · 𝑧 2 =17−7𝑖 PRODUCTO (forma polar) 𝑧 1 = 𝑟 𝛼 , 𝑧 2 = 𝑠 𝛽 ⟹ 𝑧 1 · 𝑧 2 = 𝑟·𝑠 𝛼+𝛽 𝑧 1 = 𝑟 𝛼 ⟹ 𝑧 1 =𝑟 𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑖·𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑧 2 = 𝑠 𝛽 ⟹ 𝑧 2 =𝑠 𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑖·𝑠𝑒𝑛𝛽 𝑧 1 · 𝑧 2 =𝑟 𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑖·𝑠𝑒𝑛𝛼 ·𝑠 𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑖·𝑠𝑒𝑛𝛽 = =𝑟𝑠 𝑐𝑜𝑠𝛼·𝑐𝑜𝑠𝛽−𝑠𝑒𝑛𝛼·𝑠𝑒𝑛𝛽 +𝑖·[𝑠𝑒𝑛𝛼·𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑠𝑒𝑛𝛽·𝑐𝑜𝑠𝛼] = =𝑟𝑠 cos⁡[𝛼+𝛽]+𝑖·𝑠𝑒𝑛[𝛼+𝛽] 𝑧 1 = 2 15° 𝑧 2 = 3 30° ⟹ 𝑧 1 · 𝑧 2 = 2·3 15°+30° = 6 45°

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS DIVISIÓN (forma binómica) 𝑧 1 =𝑎+𝑏𝑖, 𝑧 2 =𝑐+𝑑𝑖 𝑧 1 𝑧 2 = 𝑎+𝑏𝑖 𝑐+𝑑𝑖 = 𝑎+𝑏𝑖 𝑐−𝑑𝑖 𝑐+𝑑𝑖 𝑐−𝑑𝑖 = 𝑎𝑐+𝑏𝑑 + 𝑏𝑐−𝑎𝑑 𝑖 𝑐 2 + 𝑑 2 = 𝑎𝑐+𝑏𝑑 𝑐 2 + 𝑑 2 + 𝑏𝑐−𝑎𝑑 𝑐 2 + 𝑑 2 𝑖 𝑧 1 =2+3𝑖 𝑧 2 =1−5𝑖 ⟹ 𝑧 1 𝑧 2 = 2+3𝑖 1+5𝑖 1−5𝑖 1+5𝑖 = −13+13𝑖 26 =− 1 2 + 1 2 𝑖 DIVISIÓN (forma polar) 𝑧 1 = 𝑟 𝛼 , 𝑧 2 = 𝑠 𝛽 ⟹ 𝑧 1 𝑧 2 = 𝑟 𝑠 𝛼−𝛽 𝑧 1 = 𝑟 𝛼 ⟹ 𝑧 1 =𝑟 𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑖·𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑧 2 = 𝑠 𝛽 ⟹ 𝑧 2 =𝑠 𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑖·𝑠𝑒𝑛𝛽 𝑧 1 𝑧 2 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑖·𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑠 𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑖·𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝑟 𝑠 · 𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑖·𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑖·𝑠𝑒𝑛𝛽 = = 𝑟 𝑠 · 𝑐𝑜𝑠𝛼·𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑠𝑒𝑛𝛼·𝑠𝑒𝑛𝛽 + 𝑠𝑒𝑛𝛼·𝑐𝑜𝑠𝛽−𝑠𝑒𝑛𝛽·𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑖 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽+ 𝑠𝑒𝑛 2 𝛽 = = 𝑟 𝑠 ·( 𝑐𝑜𝑠 𝛼−𝛽 +𝑖·𝑠𝑒𝑛[𝛼−𝛽]) 𝑧 1 = 2 15° 𝑧 2 = 3 30° ⟹ 𝑧 1 𝑧 2 = 2 3 15°−30° = 2 3 −15°

POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA: 𝑖 𝑛 , 𝑛∈ℕ NÚMEROS COMPLEJOS POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA: 𝑖 𝑛 , 𝑛∈ℕ 𝑖 2 = −1 2 =−1 𝑖 𝑖 3 = 𝑖 2 ·𝑖=−1·𝑖=−𝑖 𝑖 4 = 𝑖 2 · 𝑖 2 =(−1)·(−1)=1 −1 +1 𝑖 ~ 𝑚𝑎𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙𝑎 −𝑖 𝑟=𝑛−4·𝐸[ 𝑛 4 ] 𝑖 𝑛 = 𝑖 𝑟 (resto de la división entera n/4) 1749 4 ¿ 𝑖 1749 ? 𝑖 1749 = 𝑖 1 =𝑖 14 4 3 7 29 1

POTENCIA ENTERA DE UN NÚMERO COMPLEJO: 𝑧 𝑛 = 𝑎+𝑏𝑖 𝑛 , 𝑛∈ℕ NÚMEROS COMPLEJOS POTENCIA ENTERA DE UN NÚMERO COMPLEJO: 𝑧 𝑛 = 𝑎+𝑏𝑖 𝑛 , 𝑛∈ℕ Forma binómica 𝑧 𝑛 = 𝑎+𝑏𝑖 𝑛 = ℎ=0 ℎ=𝑛 𝑛 ℎ 𝑎 𝑛−ℎ 𝑏𝑖 ℎ 3−2𝑖 5 = ℎ=0 ℎ=5 5 ℎ 3 5−ℎ −2𝑖 ℎ = = 5 0 3 5 −2𝑖 0 + 5 1 3 4 −2𝑖 1 + 5 2 3 3 −2𝑖 2 + 5 3 3 2 −2𝑖 3 + 5 4 3 1 −2𝑖 4 + 5 5 3 0 −2𝑖 5 = =1·243+5·81· −2𝑖 +10·27· −4 +10·9·8𝑖+5·3·16+1·1· −32𝑖 = =−597−122𝑖

𝑧 𝑛 = 𝑟 𝜑 𝑛 = 𝑟 𝜑 ·⋯ 𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 ⋯· 𝑟 𝜑 = 𝑟 𝑛 𝑛𝜑 NÚMEROS COMPLEJOS POTENCIA ENTERA DE UN NÚMERO COMPLEJO: 𝑧 𝑛 = 𝑎+𝑏𝑖 𝑛 , 𝑛∈ℕ Forma polar 𝑧 𝑛 = 𝑟 𝜑 𝑛 = 𝑟 𝜑 ·⋯ 𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 ⋯· 𝑟 𝜑 = 𝑟 𝑛 𝑛𝜑 3 22° 5 = 3 5 5·22° = 243 110°

𝑥+𝑦𝑖 2 =𝑎+𝑏𝑖⇒ 𝑥 2 − 𝑦 2 +2𝑥𝑦𝑖=𝑎+𝑏𝑖⇒ 𝑥 2 − 𝑦 2 =𝑎 2𝑥𝑦=𝑏 NÚMEROS COMPLEJOS 𝑧 = 𝑎+𝑏𝑖 =𝑥+𝑦𝑖 RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO COMPLEJO 𝑥+𝑦𝑖 2 =𝑎+𝑏𝑖⇒ 𝑥 2 − 𝑦 2 +2𝑥𝑦𝑖=𝑎+𝑏𝑖⇒ 𝑥 2 − 𝑦 2 =𝑎 2𝑥𝑦=𝑏 5+12𝑖 =𝑥+𝑦𝑖 𝑥+𝑦𝑖 2 =5+12𝑖⇒ 𝑥 2 − 𝑦 2 +2𝑥𝑦𝑖=5+12𝑖⇒ 𝑥 2 − 𝑦 2 =5 2𝑥𝑦=12 2𝑥𝑦=12⇒𝑥𝑦=6⇒y= 6 𝑥 𝑥 2 − 𝑦 2 =5⇒ 𝑥 2 − 6 𝑥 2 =5⇒ 𝑥 2 − 36 𝑥 2 =5⇒ 𝑥 4 −5 𝑥 2 −36=0 𝑥 2 =𝑚⇒ 𝑚 2 −5𝑚−36=0⇒ 𝑚 1 =−4 𝑚 2 =9 ⇒ 𝑥= 9 =±3 ⇒y=±2 5+12𝑖 = 3+2𝑖 −3−2𝑖

NÚMEROS COMPLEJOS RAÍZ n-sima DE UN NÚMERO COMPLEJO: 𝑛 𝑧 𝑧= 𝑟 𝛼 𝑛 𝑧 = 𝑠 𝜑 ⇒ 𝑠 𝜑 𝑛 = 𝑟 𝛼 ⇒ 𝑠 𝑛 =𝑟⇒𝑠= 𝑛 𝑟 𝑛𝜑=𝛼+𝑘·360°, 𝑘=0, 1, 2, ⋯,𝑛−1 𝑛 𝑟 𝛼 = 𝑛 𝑟 𝛼+𝑘·360° 𝑛 𝑘=0, 1, ⋯, 𝑛−1 5 32 120° = 5 32 120°+𝑘·360° 5 𝑘=0, 1, ⋯, 4 = 2 24° 2 96° 2 168° 2 240° 2 312°

NÚMEROS COMPLEJOS RAÍCES DE LA UNIDAD 1= 1 0° 5 1 0° = 5 1 0°+𝑘·360° 5 𝑘=0, 1, ⋯, 4 = 1 0° 1 72° 1 144° 1 216° 1 288° 1 72° 1 144° 1 0° 1 216° 1 288°

NÚMEROS COMPLEJOS FIN DE NÚMEROS COMPLEJOS