 Función cuadrática Definición Es de la forma: f(x) = ax2 + bx + c con a  0; a, b, c  IR y su representación gráfica corresponde a una parábola  Ejemplos: a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1  a = 2, b = 3 y c = 1 b) Si f(x) = 4x2 – 5x – 2  a = 4, b = – 5 y c = – 2

Función cuadrática Intersección con eje Y En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el coeficiente c indica la ordenada del punto donde la parábola intersecta al eje Y. x y c (0, c)

Función cuadrática Concavidad Ejemplo: En la función f(x) = x2 – 3x – 4 , a = 1 y c = – 4. Luego, la parábola intersecta al eje Y en el punto (0, – 4) y es cóncava hacia arriba. x y (0, – 4)

Función cuadrática Concavidad En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el coeficiente a indica si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo. Si a > 0, es cóncava hacia arriba Si a < 0, es cóncava hacia abajo

Función cuadrática Eje de simetría y vértice El vértice de una parábola es el punto más alto o más bajo de la curva, según sea su concavidad. El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de la parábola, y es paralela al eje Y. Eje de simetría x y Vértice

Función cuadrática Eje de simetría y vértice Si f(x) = ax2 + bx + c , entonces: –b 2a x = a) Su eje de simetría es: 2a V = –b , f –b b) Su vértice es: 4a –b , 4ac – b2 2a V =

Función cuadrática Eje de simetría y vértice Ejemplo: En la función f(x) = x2 + 2x – 8, a = 1, b = 2 y c = – 8, entonces: 2a –b x = 2·1 –2 x = a) Su eje de simetría es:   x = – 1 b) Su vértice es: –b , f –b 2a V =  V = (– 1, f(– 1) )  V = (– 1, – 9)

Función cuadrática Eje de simetría y vértice Eje de simetría: x = – 1 f(x) Vértice: V = (– 1, – 9 )

Función cuadrática Eje de simetría y vértice Nota: Si la parábola es cóncava hacia arriba, el vértice es el punto mínimo y si la parábola es cóncava hacia abajo, el vértice es el punto máximo.

Función cuadrática Discriminante Al igual que en la ecuación de segundo grado, el discriminante de una función cuadrática se define como: Δ = b2 – 4ac a) Si el discriminante es positivo, entonces la parábola intersecta en dos puntos al eje X. Δ > 0

Función cuadrática Discriminante b) Si el discriminante es negativo, entonces la parábola NO intersecta al eje X. Δ < 0

Función cuadrática Discriminante c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la parábola intersecta en un solo punto al eje X, es decir, es tangente a él. Δ = 0

¿Qué debe ocurrir en la función cuadrática para cada tipo de gráfico?

Función cuadrática Relación entre función y ecuación cuadrática Una ecuación cuadrática o de segundo grado es de la forma: ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0 Toda ecuación de segundo grado tiene 2 soluciones o raíces. Si estas son reales, corresponden a los puntos de intersección de la parábola f(x) = ax2 + bx + c con el eje X. x1 x2

Función cuadrática Relación entre función y ecuación cuadrática Ejemplo: Para determinar los puntos de intersección con el eje X de la función f(x) = x2 – 2x – 15, se debe resolver la ecuación cuadrática x2 – 2x – 15 = 0, ya que la curva corta al eje X cuando f(x) es cero. Como x2 – 2x – 15 = (x + 3)(x – 5)  (x + 3)(x – 5) = 0 Luego, las soluciones o raíces de la ecuación son x1 = – 3 y x2 = 5, debido a que un producto es cero cuando al menos uno de los factores es cero. Por lo tanto, los puntos de intersección de la parábola f(x) = x2 – 2x – 15 con el eje X son (– 3, 0) y (5, 0).

¿Cómo se determina la intersección de las gráficas de f y g? Pregunta oficial PSU Sean las funciones f y g, ambas con dominio el conjunto de los números reales, definidas por f(x) = x2 + 3 y g(x) = (x – 3)2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Las gráficas de f y g se intersectan en el punto (1, 4). II) Si x = 5, entonces f(x) – g(x) = 24. III) Las pre-imágenes del 7 según la función f son – 2 y 2. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III ¿Cómo se determina la intersección de las gráficas de f y g? ¿Qué es una preimagen? Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de Admisión 2018.

Pregunta oficial PSU .¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), con respecto a las funciones de la forma f(x) = x2 - p, con dominio los números reales? I) Si p > 0, entonces la gráfica de f intersecta al eje x en un solo punto. II) Si p < 0, entonces la gráfica de f no intersecta al eje x. III) Si p < 0, entonces la ordenada del punto donde la gráfica de f intersecta al eje y es positiva. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III ALTERNATIVA CORRECTA D Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2015.

Más información en las páginas 68 y 69 de tu libro. 1. Función cuadrática 1.4 Ejemplo La altura f(t) alcanzada, medida en metros, de un proyectil se modela mediante la función f(t) = 20t – t2, donde t se mide en segundos desde que se lanza hasta que toca el suelo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones se puede(n) deducir de esta información? I) El proyectil cae a 20 metros de distancia de donde fue lanzado. II) A los 10 segundos desde que el proyectil es lanzado, éste alcanza su altura máxima. III) La gráfica de f tiene un eje de simetría. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de Admisión 2017. ALTERNATIVA CORRECTA D Más información en las páginas 68 y 69 de tu libro. ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 5 y 15 de tu guía.

Pregunta oficial PSU Sean las funciones f y g, ambas con dominio el conjunto de los números reales, definidas por f(x) = x2 + 3 y g(x) = (x – 3)2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Las gráficas de f y g se intersectan en el punto (1, 4). II) Si x = 5, entonces f(x) – g(x) = 24. III) Las pre-imágenes del 7 según la función f son – 2 y 2. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III ALTERNATIVA CORRECTA E Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de Admisión 2018.

f(x) = ax2 + bx + c, con a ≠ 0 Su gráfica es una parábola Síntesis de la clase Si Δ = 0  la parábola intersecta en un solo punto al eje X, es decir, es tangente a él. Discriminante Δ = b2 – 4ac Si Δ < 0  la parábola NO intersecta al eje X. Si Δ > 0  la parábola intersecta en dos puntos al eje X. Función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, con a ≠ 0 Su gráfica es una parábola Concavidad Si a >0, Si a < 0, Intersección Con el eje Y: (0, c) Con el eje X: (x1, 0) y (x2, 0) Vértice: Eje de simetría: x = 2a –b , f –b – b