Unidad 3 Números Reales

 Clasificación de los Números Reales en el Siguiente Cuadro

Estructuras Algebraicas  Conjunto: Toda Agrupación o colección de objetos, pueden ser reales o ideales, se les denomina elementos del conjunto.  Generalmente los conjuntos se denotan con las letras mayúsculas (A, B, C,…) sus elementos están separados por comas y encerrados entre llaves ({}) Definiciones previas

Operador Matemática  Es aquel procedimiento que transforma una cantidad a otra llamada resultado, bajo ciertas condiciones y/o reglas (leyes) y esta representada por un símbolo, estos símbolos entonces lo representamos como un conjunto de Operadores

Ley de composición interna  Se le llama LCI a toda operación interna sobre el conjunto A no vacía.  A cualquier aplicación de A x A en A que, para todo par (a, b) de elementos de A, en un orden dado, se le hace corresponder un único elemento “c” de A se llama resultado de haber operado con los elementos del par.

 Para el estudio usaremos la nomenclatura (*) que asumirá la representación de cualquier operador.  Este símbolo (*), que situado entre elementos con los que se opera, expresa el resultado de la operación, es decir: C = a * b, gramaticalmente: C es igual a operado con b

Producto cartesiano  Dado los conjuntos A ˄ B se define producto cartesiano como: A x B = [(A, B) ∊ A x B/A ∊ A, B ∊ B] entonces si B = A entonces queda: A x A = {(a, b)/a ∊ A, b ∊ B} A x A → A (a, b) → a * b Los elementos (a, b) de A x A se llaman pares. Este concepto se denomina par ordenado

Ley de composición interna (Operaciones Matemáticas)  Propiedades: A ≠ ø  Clausura o cerradura:  Si tomamos un par de elementos cualquiera del conjunto A y realizamos con ellos operación definida, y dicho resultado también pertenece al conjunto A entonces se dice que la operación es cerrada en el conjunto A. a ^ b ∊ A ⇒ a*b ∊ A A x A → A (a, b) → *(a, b) = a * b ∊ A

 Conmutativa  Cuando para todo par de elementos del conjunto A el orden en que se opera no altera el resultado a ^ b ∊ A ⇒ a*b = b * a A x A → A (a, b) → *(a, b) = a * b = b * a ∊ A  Asociativa  Cuando al efectuar por el operador mas de dos elementos del conjunto A agrupando de distintas formas, el resultado sigue siendo el mismo a, b, c ∊ A ⇒ a * (b * c) = (a * b) * c A x A → A (a, (b * c) → *(a, (b,c)) = a * (b, c) = a * b * c Entonces (a * b) * c = a * (b * c) ∊ A

 Existencia del Elemento Neutro  Existe un único elemento de A tal que al operarlo con cualquier elemento de A, tanto de izquierda como de derecha, no altera el valor de este ultimo. A x A → A (a, b) → *(a, b) = a * b ∊ A, deduciendo que b = e (a, e) → *(a, e) = a * e = e * a; a ∊ A  Existencia del Elemento Inverso  Existe un único elemento de A tal que al operarlo con cualquier elemento de A, tanto de izquierda o de la derecha el valor sea del resultado es el elemento neutro (e). A x A → A (a, b) → *(a, b) = a * b ∊ A, deduciendo que b = a’ (a, a’) → *(a, a’) = a * a’ = a’ * a = e

Semigrupo  Sea el conjunto A, (A ≠ ø) y también sea el operador (*) una LCI el par (A, *) se llama Semigrupo si y solo si el operador “*” es una LCI en asociativa en A. Sea A = {a, b, c} ˄ [A, *] A x A → A

Monoide

Grupo  Sea el conjunto A ≠ ø, además el operador (*) es una LCI entonces se afirma que el par (A, *) es grupo si cumple con las siguientes condiciones.  “*” Es asociativas que ∊ A a, b, c ∊ A, (a * b) * c = a * (b * c) ∊ A (P. Asociativa)  “*” Admite un elemento neutro y es único a ∊ A,, Ǝ ! ∊ A / (a * e = e * a = a (P. Existencia del elemento neutro)  Todos los elementos de A (conjunto) poseen, tienen un elemento inverso que es único. a ∊ A, Ǝ ! a’ ∊ A / a * a’ = a’ * a = e (P. Elemento Inverso)

“ sea el par (A, *) definimos como GRUPO al conjunto no vacío con un operador con LCI es nuestro concepto de grupo”  Si además de estas tres propiedades existe que “*” es conmutativa en A a, b, c ∊ A, a * b * c = b * a * c ∊ A (P. Comutativa) Si el grupo con las 4 operación entonces (A, *) recibe el nombre de “ Grupo Abeliano”

Anillo  Sea A un conjunto no vacío en el cual se define dos LCI o sea son dos operadores totalmente definidas en el interior del conjunto A.  En este caso usamos ya dos operadores universales en el de adición y multiplicación respectivamente “+”, “.” por lo queda (A, +,.) ahora podemos asociar elementos de conjuntos ya conocidos como los números naturales, enteros, racionales, irracionales, reales y complejos. A = {Conjunto de los números Naturales} A = {Conjunto de los números Enteros} A = {Conjunto de los números Racionales} A = {Conjunto de los números Irracionales} A = {Conjunto de los números Reales} A = {Conjunto de los números Complejos}

 El orden sucesivo notamos que el conjunto incluye al otro. Entonces definimos (A, +,.), con sus respectivas propiedades.

 Anillo de Integridad  Sea (A, +,.) será anillo de integridad si no posee elementos divisores de cero, vale decir: a. b = 0 ⟺ a = 0 ˅ b = 0 Lo que implica “a es o, o b es 0” pero no ambos a la vez.  Dominio de Integridad  Sea el anillo (A, +,.) con unidad, conmutativa y con división se llama dominio de integridad cuando no posee elemento divisores de cero. a. b = b. a, b ≠ 0

Campos o Cuerpos  Ahora cambiamos de notación A = K con este nuevo símbolo definimos el concepto de CUERPO: es un conjunto K con dos operadores (Adición, multiplicación) que satisfacerte ciertas condiciones llamadas axiomas de cuerpo. Entonces un anillo (K, +,.) con unidad, conmutativo y con división se llama campo o cuerpo.  Divisor de Cero  Se dice que un elemento a ≠ 0 de anillo (A, +,.) conmutativo es un divisor de si: a ≠ 0 ˄ b ≠ 0 ⇒ a. b = 0 Si y solo si existe otro elemento b ≠ 0 del anillo (A, +,.) tal que cumple: a. b = b. a = 0  Podemos adentrarnos al algebra propiamente dicho, para ellos usamos K como nuestro conjunto experimental de elementos como x, y, z ∊ K, entonces nos axiomatizamos.

Axiomas  Axioma de Identidad  Cualquier cantidad es igual a si misma  Axioma de Sustitución  Toda cantidad se puede remplazar por su igual  Axioma de Transitividad  Si una primera cantidad es igual a una segunda cantidad y la segunda cantidad es igual a una tercera, la primera cantidad es igual a la tercera. O bien, cantidades iguales a una tercera son iguales entre si.

 Axioma del todo o la partición  El todo es igual a la suma de sus partes y mayor que cualquiera de ellas.  Axioma de Adición  Si a cantidades iguales se le suman o se le restan cantidades iguales, los resultados son iguales.  Axiomas de multiplicación  Si cantidades iguales se multiplican o dividen por cantidades iguales, los resultados son iguales, exceptuando al divisor cero.  Axioma de Potenciación  Si cantidades iguales se elevan a un mismo exponente o se les extrae una misma raíz, los resultados son iguales.

Cuerpos ordenados  Un cuerpo es ordenado, si tiene un subconjunto distinguido F ⊂ K, que es el conjunto de elementos de K que cumple las siguientes condiciones P1. x + y ∊ F ^ x.y ∊ F, x, y ∊ F P2. dado x ∊ K, exactamente ocurre una de las tres condiciones: X = 0 ˅ x ∊ F ˅ – x ∊ F Indicamos –F al conjunto de elementos –x, donde x ∊ F.

De donde K = F ∪ (-F) ∪ {0}, entonces estos conjuntos son disjuntos ^ -F recibe el nombre de conjunto de números negativos. En todo cuerpo ordenado si a ≠ 0; a2 (a al cuadrado) ∊ F de hecho si a ≠ 0 entonces a ∊ F ˅ -a ∊ F, ya que: i)a = a. a ∊ F ii)a = (-a). (-a) ∊ F

 En un cuerpo K: x < y “x es menor que y” lo mismo a decir que y – x ∊ F de donde Y > 0 lo mismo a decir y ∊ F X < 0 lo mismo a decir –x ∊ F X 0 X x  La relación de orden x<y en un conjunto ordenado K goza de los siguientes teoremas. Los teoremas a continuación son exquisitas muy potentes y todos estos retóricamente extraordinarias, fantásticos  T1. Transitividad  T2. tricotomia  T3. Monotonicidad de la adición