OLIMPIADA MATEMÀTICA 2009 FASE autonómica PRIMÀRIA PROVA INDIVIDUAL BENICARLÓ, 6, 7 DE JUNY

1.- PARCEL·LA.- En una parcel·la, la piscina ocupa 30 metres quadrats. La casa ocupa tants metres quadrats com la piscina i la meitat del jardí. El jardí ocupa tants metres quadrats com la piscina i la casa junts. Troba els metres quadrats que té la parcel·la, la casa i el jardí. SOLUCIÓ 1: Anem a tractar el problema com un problema de plantejament utilitzant el prellenguatge algebràic. Tenim que la primera frase la podem “escruire” la segon com: i la tercera com: Sustituint (1) en (2) i al sustituir en (3) Per tant:

SOLUCIÓ 2: Podem ajudar-nos amb un dibuix que representa la parcel:la i dintre d’ella el jardí (part ombrejada), i per comparació la casa i la piscina: piscina = 30 m2 casa = 90 m2 jardí = 120 m2

2.- SEGUIM LA PISTA PER CONTINUAR: Intenta continuar les següents successions numèriques afegint tres termes més en cadascuna d’elles. Explica la relació que has trobat entre els seus termes, en la qual t’has fixat per poder continuar-les: -3, 7, -11, 15, -19,....... 4, 27, 256, 3125, 46656, ......... 3, 8, 15, 24, 35, ........ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ....... 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...... Solució: El que hem de fer es estudiar regularitats; “el mateix que relaciona als termes donats es el que relaciona al demes termes”. Per a la successió 1; prescindint del signe, que s’alterna, hi ha que sumar quatre. Es a dir la successió és: -3, 7, -11, 15, -19, 23, -27, 31, ...... Per a la successió 2, com 4=22 i 27=33 i segons la màquineta 256=44 i així succesivament, els elements que faltes son 77= 823.543; 88=161777.216 i 99 = 3871420.489

Per a la successió 3: 3, 8, 15, 24, 35,..... tením que son els quadrats menys una unitat. Per tant els elements que falten son: 72-1=48; 82-1=63; 92-1=80. Per a la successió 4: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,....... tením despres de barallarnos molt que cada terme es la suma dels dos anteriors ( és la successió de Fibonacci). Per tant els termes que falten son: 8+13=21; 13+21=34; 21+34=55 Per a la successió 5: 29, 31, 37, 41, 43, 47, ..... tením que son els nombres primers posteriors a 29 (IDEA FELIÇ!!!!), per tant els termes que hem d’agregar son: 53, 59, 61

3. -FEM UN MARC: Mira la figura que hi ha baix 3.-FEM UN MARC: Mira la figura que hi ha baix. Imagina com podies retallar-la per formar dos quadrats, un dintre de l’altre. Dibuixa en la figura el tall i construeix amb les peces la figura resultant que et demanen

SOLUCIÓ: Tallarem la figura per on indica la linea de color i construirem la figura de la dreta:

4.- EL NOTARI: Un home en morir deixa una fortuna d’onze xifres a repartir en parts iguals entre els seus fills. El notari diu que les xifres desordenades d’aquesta quantitat son: 0 0 0 1 2 3 5 6 7 9 9. El notari trau la seua calculadora per esbrinar quina quantitat li tocava a cadascú i els diu: “Arredonint els decimals, a cadascú li toca......” Aleshores salta un dels fill: “Un moment. Está vosté fent trampa!”. Com va descobrir al notari? SOLUCIÓ: La quantitat a repartir no la coneixem però sí les xifres que la composen, i com que cal dividir-la en tres parts iguals per als tres germans, tan sols cal aplicar el criteri de divisibilitat del tres: Un número és divisible per tres si sumant les seves xifres s’obté un múltiple de tres. Calculem aquesta suma amb les xifres de l’enunciat: 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 7 + 9 + 9 = 42, per la qual cosa la quantitat a repartir és divisible per tres i no té cap sentit parlar de decimals ja que la divisió és exacta.

5.- OMPLIM ELS BUITS?: a) Col·loca els signes de les operacions omplint els buits blancs del quadre de baix adequadament per a que files i columnes donen com a resultat 16 2 = 16 3 5 8 4 6 10 SOLUCIÓ: Hem d’anar provant operacións entre els números de les files o columnes per a que resute 16. Per exemple en la primera fila 2 x 2 x 2 x 2

2 = 16 3 5 8 4 6 10 x x x x x x x x + x x + + x - x + + - + x - +

5.- OMPLIM ELS BUITS?: b) Completa les caselles del quadrat de baix amb nombres enters (positius i negatius) per a que s’acomplesquen els resultats indicats (+5) + (-3) - = (-18) (-5) (-4) (-2) (+10) (+4) (-10)

SOLUCIÓ: Hem de buscar files o columnes on falte tant sols un nombre (+5) + (-3) - = (-18) (-5) (-4) (-2) (+10) (+4) (-10) (+20) (+3) (+2) (-5) (+3) (+5) (-11)