Apuntes de Matemáticas 3º ESO CUERPOS GEOMÉTRICOS U.D. 9 * 3º ESO E.AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJERCICIOS DE ÁREAS U.D. 9.6 * 3º ESO E.AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Áreas de algunos cuerpos PRISMAS Ab = 2.l.a Al = P.h At = Al + Ab PIRÁMIDES Ab = P.apo /2 Al = P.Apo/2 At = Al + Ab h l a CILINDROS Ab = 2.π.r2 Al = 2.π.r.h At = Al + Ab g h h CONOS Ab = π.r2 Al = π.r.g At = Al + Ab r r @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejercicios EJERCICIO 7 La altura de una pirámide recta de base cuadrada es 4 cm y el lado de la base mide 6 cm. Hallar el área lateral. El área lateral es: Al = P. apo / 2 La apotema es hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura y la mitad del lado de la base. Apo = √ [(l/2)2 + h2)] = √ (32 + 42) = = 5 cm Luego: Al = P. apo / 2 = 4.6.5 / 2 = 60 cm2 h apo l l/2 l @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJERCICIO 8 La altura de una pirámide recta de base cuadrada es 4 cm menor que la arista lateral. El lado de la base mide 20 cm. Hallar el área lateral. El área lateral es: Al = P. apo / 2 El perímetro vale P = 4.l = 4.20 = 80 cm Pero no tenemos la apotema. Ni podemos calcularla al desconocer la altura. La diagonal de la base es: d = √ (202 + 202) = √ 800 = 20√2 cm La arista lateral es hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura y la mitad de la diagonal base. al = √ [(d/2)2 + h2)] Si llamamos x a la arista lateral, (x – 4) será la altura y por Pitágoras: x2 = (20√2 / 2)2 + (x – 4)2 x-4 apo x l d/2 l @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Continuación del EJERCICIO 8 Efectuando el producto notable: x2 = 200 + x2 – 8.x + 16  8.x = 216  x = 27 La arista lateral mide 27 cm Altura h = al – 4 = 23 cm Calculamos la apotema de la pirámide, que es hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura y la mitad del lado de la base. apo = √ (102 + 232 ) = √ (100+529) = = √ 629 = 25 cm El área lateral será: Al = P. apo / 2 = 4.20.25 / 2 = 1000 cm2 h apo l l/2 l @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJERCICIO 8 El radio de la base de un cono mide 5 cm. Hallar la altura para que el área lateral sea igual al área de la base. El área de la base es: Ab = π.r2 = π.52 = 25 π cm2 El área lateral es: Al = π.r.g = 5.π.g Igualando ambas: 25.π = 5. π.g  g = 5 Conocidas la generatriz y el radio de la base, por el T. de Pitágoras hallamos la altura: h = √ (g2 - r2 )  h = √ (52 – 52) = 0 El cono es imposible, pues para que se cumpla la condición del enunciado la altura sería nula, y por tanto no existe cono alguno. IMPORTANTE: En un cono el área lateral es SIEMPRE MAYOR que el área de la base. g h r @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJERCICIO 9 El radio de la base de un cono mide 5 cm menos que la altura del cono, y la generatriz 7 cm. Hallar la altura del cono y el área lateral. Sabemos que en el cono: g2 = r2 + h2  72 = (h - 5)2 + h2 Operando: 49 = h2 – 10.h + 25 + h2 ; 2.h2 – 10.h – 24 = 0 Simplificando: h2 – 5.h – 12 = 0 Resolviendo la ecuación: h = [(5 + √ (25 + 48)] / 2 = 6,75 cm El radio de la base es: r = h – 5 = 6,75 – 5 = 1,75 cm El área lateral vale: Al = π.r.g = π.r.√ (h2 + r2 ) Al = π.1,75.√ (6,752 + 1,752 ) Al = π.1,75.7 = 12,25. π cm2 g h r @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJERCICIO 10 En un cilindro la altura es igual que el diámetro de la base y el área lateral del cilindro vale π cm2 Hallar el radio de la base y la altura del cilindro. El área lateral de un cilindro es: Al = 2.π.r.h Y como h= 2.r π = 2.π.r.2.r π = 4.π.r2 Despejando … r2 = 1 /4 Luego r = ½ cm La solución negativa de r no vale. h= 2.r h = 1 cm h r @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJERCICIO 10 Un cono presenta un radio de la base de 3 cm y una altura de 4 cm. Hallar el área lateral del cono. ¿Qué área lateral tendría el mismo cono con el doble de altura? El área lateral es: Al = π.r.g Por Pitágoras: g =√ r2 + h2 = √ 32 + 42 = √ 25 = 5 cm Luego: Al = π.3.5 = 15.π cm2 Con altura h = 2.4 = 8 cm, por Pitágoras: g =√ r2 + h2 = √ 32 + 82 = √ 73 = 8,544 cm Al = π.3.8,544 = 25,63.π cm2 A doble altura no corresponde doble área. g h r @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJERCICIO 11 Un cono presenta un área lateral de π 2 m2 La altura sabemos que es el doble del diámetro de la base. Hallar el radio de la base y la altura del cono. Hallar el ángulo del sector circular que forma el área lateral. El área lateral es: Al = π.r.g También sabemos que h = 2.d=4.r Por Pitágoras: g = √ [ r2 + h2 ] g =√ [ r2 + (4.r)2 ] Sustituyendo en el área: π2 = π.r. √ (r2 + 16.r2) Elevando todo al cuadrado: π4 = π2.r2 [ r2 + 16.r2 ] g h r @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Continuación del EJERCICIO 11 Operando… 100 = 10.r2 (17.r2 ) 100 = 170. r4 De donde: r4 = 100 / 170 = 10 / 17 4 Luego: r = √ (10/17) = 0,876 cm Y por tanto: h = 4.r = 4.0,876 = 3,5 cm Como: g = √ 17.r2  g = 3,61 cm Por último: n = 360.r / g = 360.0,876 / 3,61 = 87,36º , casi un ángulo recto. r A=л.r.g A=л.r2.n / 360 g @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO