Tema 8: Procesos Estocásticos Los procesos estocásticos (PE) son: Una generalización de las variables aleatorias cuando se manifiestan como función de un parámetro real Un PE puede considerarse como: Una familia de variables aleatorias que se rigen por dos argumentos; normalmente uno temporal y otro, el asociado a la noción convencional de variable aleatoria

Proceso Estocástico Consecuencia: Ejemplo: Lanzamiento moneda dos veces repetido en el tiempo Consecuencia: Los valores observados de la variable X en el conjunto finito de tiempo t = 1,2,…,T: (x1, x2, …, xT) son la realización muestral del proceso estocástico: x(t1), x(t2), x(t3), …, x(tT)

Desde esta perspectiva: Una serie temporal no es más que una REALIZACIÓN MUESTRAL de un proceso estocástico El proceso estocástico ( x(t1), x(t2), x(t3), …, x(tT) ) tiene una distribución de probabilidad conjunta: P (x(t1), x(t2), … , x(tT)) y una función de Distribución: F ( x1, x2, … , xT; t1, t2, … , tT ) = P ( x(t1) ≤ x1 ; x(t2) ≤ x2 ; …., x(tT) ≤ xT )

CLASIFICACIÓN PE de estado discreto PE de estado continuo PE de parámetro discreto ó de parámetro tiempo discreto PE de parámetro continuo ó de parámetro tiempo continuo Si todas las variables aleatorias pertenecen a la misma familia de distribuciones, los PE correspondientes se denominan: normales, de Poisson, binomiales, etc.

Si las variables aleatorias que constituyen el PE se concatenan de una forma especial, aparecen: Medias móviles (MA) Autorregresivos (AR) Autorregresivos y medias móviles (ARMA) Cadenas de Markov P ( xn | x1, x2, … , xn-1; t1, t2, … , tn-1) = P ( xn | xn-1; tn-1 ) Son procesos sin memoria o de memoria nula

Caracterización de un proceso estocástico Mediante la distribución de probabilidad conjunta P ( x1, x2, x3, …, xT ) Mediante los momentos: Media: E [ x(t) ] = µt Varianza: Var [ x(t) ] = σ2(t) = E [ (x(t) - µt)2 ] Covarianza ó Autocovarianza: Cov(t1, t2)=E[(x(t1)-µt1)(x(t2)-µt2)] Autocorrelación: ρ(t1, t2) = Cov (t1, t2) / σ(t1) σ(t2)

PROCESOS ESTOCÁSTICOS ESTACIONARIOS Un PE es estacionario si las funciones de distribución para una sucesión cualquiera x(ti) en t1, t2, …, tn y para t1 + τ, t2 + τ, …, tn + τ son idénticos, es decir, la función de distribución no depende del origen Propiedades: F(x; t) = F(x; t + τ) F(x1, x2; t1, t2) = F( x1, x2; t1 + τ, t2 + τ ) ; si τ = - t1; = F( x1, x2; t2 – t1 ) Momentos: μt = μ σ2(t) = σ2 ρ ( t2 ; t1 ) = ρ (t2 – t1)

1.- Ruido Blanco (puramente aleatorio) PRINCIPALES PROCESOS ESTOCÁSTICOS ESTACIONARIOS 1.- Ruido Blanco (puramente aleatorio)

2.- Paseo ó Camino aleatorio PRINCIPALES PROCESOS ESTOCÁSTICOS ESTACIONARIOS 2.- Paseo ó Camino aleatorio Ejemplo: Cotizaciones bursátiles 3.- Proceso Gaussiano Distribución conjunta normal n-dimensional

PRINCIPALES ESTOCÁSTICOS LINEALES: 1.- Modelo AR(p) [ Autorregresivos de orden p] El comportamiento de la variable x en el periodo t viene explicado por una media ponderada de sus “p” valores anteriores, en t-1, t-2, …, t-p y un término de error aleatorio (ruido blanco)

PRINCIPALES ESTOCÁSTICOS LINEALES: 1.1- AR(1)

PRINCIPALES ESTOCÁSTICOS LINEALES: 1.1- AR(1)

PRINCIPALES ESTOCÁSTICOS LINEALES: 2.- Modelo MA(q) [ Medias móviles de orden q]

PRINCIPALES ESTOCÁSTICOS LINEALES: 2.- Modelo MA(q) [ Medias móviles de orden q]