UNIDAD 4 ANEXO 3. CAPÍTULO IX. MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS.

U-4.A-3. CAP. IX. VARIACIÓN DE PARÁMETROS. Este método, desarrollado anteriormente para ecuaciones de 2° orden, es aplicable a ecuaciones de orden superior con coeficientes constantes o de Euler. La solución particular yp depende de forma de la solución complementaria y su complejidad aumenta con el orden de la ecuación; de manera que, para ecuaciones de alto orden, resulta impráctico. El planteamiento general correspondiente al método de variación de parámetros es una extensión del desarrollo para el caso de 2° orden, como se muestra a continuación.

Conociendo ésta, se propone la solución particular: U-4.A-3. CAP. IX. VARIACIÓN DE PARÁMETROS. Considere la ecuación diferencial lineal no homogénea de orden n en la forma estándar: donde P1(x) , P2(x) , … , Pn(x) y R(x) son continuas en el intervalo de interés. Su solución complementaria tiene n soluciones linealmente independientes, y1, y2, … , yn en el intervalo y se expresa en la forma siguiente: Conociendo ésta, se propone la solución particular:

U-4.A-3. CAP. IX. VARIACIÓN DE PARÁMETROS. que reemplaza las constantes C1, C2, … , Cn de yc por las funciones u1, u2, … , un, que dependen de x. Estas n funciones deben ser tales que la expresión de yp satisfaga la ecuación no homogénea dada. Para determinar las n funciones incógnitas, se requieren n ecuaciones. Una de ellas se obtiene haciendo que yp satisfaga la ecuación diferencial no homogénea. Las otras ecuaciones se obtienen haciendo que las n funciones cumplan condiciones que se decidirán en su momento, para simplificar su determinación.

Derivando yp se obtiene: U-4.A-3. CAP. IX. VARIACIÓN DE PARÁMETROS. La idea básica detrás de esa decisión es la de suprimir los términos que generan las derivadas de 2° orden u orden superior de u1, u2, … , un. Derivando yp se obtiene: Para evitar las segundas derivadas en las u’s, se requiere anular los términos en el primer paréntesis, lo que resulta en: Al continuar derivando, se obtienen y, anulando los términos que incluyen ,

se obtienen las n − 1 ecuaciones siguientes: U-4.A-3. CAP. IX. VARIACIÓN DE PARÁMETROS. se obtienen las n − 1 ecuaciones siguientes: La n-ésima ecuación se obtiene al establecer que yp debe satisfacer la ecuación diferencial, requisito que resulta en: De esta manera, se produce un sistema de n ecuaciones algebraicas simultáneas para determinar . Expresando como wi, con i = 1, 2, 3, . . . , n para simplificar, el sistema de n ecuaciones con n incógnitas se expresa en la forma:

cuyo wronskiano W( y1, y2, … , yn) es: U-4.A-3. CAP. IX. VARIACIÓN DE PARÁMETROS. cuyo wronskiano W( y1, y2, … , yn) es:

U-4.A-3. CAP. IX. VARIACIÓN DE PARÁMETROS. Este sistema tiene solución única ya que el wronskiano nunca es cero, hecho garantizado por la independencia lineal de las funciones y1, y2, … , yn. Así, las funciones w1, w2, …, wn pueden obtenerse, usando la regla de Cramer, en la forma: donde Wk(x) es el determinante que se obtiene al suprimir la columna k y el último renglón de W(y1, y2, … , yn) y multiplicarlo por (−1)n−k.

Finalmente, la solución particular es: U-4.A-3. CAP. IX. VARIACIÓN DE PARÁMETROS. Las funciones u1, u2, … , un se determinan a partir de la integración de w1, w2, … , wn, en la forma: y como las constantes de integración no son significativas, pueden anularse sin pérdida de generalidad. Finalmente, la solución particular es: El método de variación de parámetros se resume en el siguiente teorema:

U-4.A-3. CAP. IX. VARIACIÓN DE PARÁMETROS. Si y1, y2, . . . , yn son un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada de la ecuación diferencial: con P1, P2, . . . , Pn continuas en el intervalo de interés, una solución particular de esta ecuación no homogénea es: en donde: W(y1, y2, . . . , yn) es el wronskiano, y Wk(x) es el menor que se obtiene al eliminar la columna k y la fila n, multiplicado por (1)n  k.

Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación: U-4.A-3. CAP. IX. VARIACIÓN DE PARÁMETROS. Una vez que se dispone de yp, la solución general de la ecuación no homogénea puede determinarse por: Observe que el método de coeficientes indeterminados es más sencillo, por lo que debe preferirse si es aplicable. Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación: usando a) el método de coeficientes indeterminados y b) el método de variación de parámetros para la solución particular.

Por lo tanto, la solución complementaria es: U-4.A-3. CAP. IX. VARIACIÓN DE PARÁMETROS. Solución: Se determina, en primer lugar, la solución complementaria. Su ecuación característica es r3 + 2r2 = 0 y sus raíces son r1 = r2 = 0 y r3 = 2, así: Por lo tanto, la solución complementaria es: a) La solución particular correspondiente al término no homogéneo R(x) = e x es yp = Ae x, la cual no duplica ninguna función en la solución homogénea. Usando el método de coeficientes indeterminados se obtiene A = 1/3.

Por tanto, la solución particular es: U-4.A-3. CAP. IX. VARIACIÓN DE PARÁMETROS. Por tanto, la solución particular es: La solución general de la ecuación diferencial dada es la suma de las soluciones complementaria y particular: b) Previo a la aplicación del método de variación de parámetros, se requiere determinar el wronskiano W(y1, y2, . . . , yn) y los menores W1, W2 y W3 como:

U-4.A-3. CAP. IX. VARIACIÓN DE PARÁMETROS.

Por tanto, las funciones u1, u2 y u3 son: U-4.A-3. CAP. IX. VARIACIÓN DE PARÁMETROS. Por tanto, las funciones u1, u2 y u3 son: Entonces, la solución particular es:

U-4.A-3. CAP. IX. VARIACIÓN DE PARÁMETROS. que es el mismo resultado obtenido con el método de coeficientes indeterminados. La solución general también es la misma que la obtenida en la parte a).