UESS Profesora: Dianna Pauta Martillo 1

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA POBLACIÓN  PROMEDIO O MEDIA 2

Prueba de Hipótesis sobre una media poblacional (Tamaño de la muestra mayor a 30 datos) Cuando la varianza poblacional es conocida y el tamaño de la muestra es grande o se sabe que la población tiene una distribución normal, la estadística de prueba es: Parámetros Tamaño de la muestra mayor a 30 datos. La población sigue une distribución Normal. Se usa la distribución ¨z¨ tanto para el estadístico calculado como para el estadístico crítico. Tamaño de la muestra se la designa con la letra ¨n¨ Nivel de confianza, indica la probabilidad de aceptar la hipótesis planteada, cuando es verdadera en la población. Se lo designa como: n.c. 3 Relación matemática

Reglas de decisión (Tamaño de muestra mayor a 30 datos) Cola superior z calculado < + z crítico Si se cumple, se acepta la Hipótesis nula. Cola inferior z calculado > - z crítico Si se cumple, se acepta la Hipótesis nula Dos colas -z crítico < z calculado < + z crítico Si se cumple, se acepta la Hipótesis nula De no cumplirse la regla de decisión se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alterna 4

Reglas para hallar el estadístico crítico para muestras de tamaño mayor a 30 datos, usando funciones en Excel Cola superior El nivel de significancia es la Probabilidad z crítico = - INV.NORM.ESTAND(Probabilidad) z crítico : Debe considerárselo positivo Cola inferior El nivel de significancia es la Probabilidad z crítico = INV.NORM.ESTAND(Probabilidad) z crítico : Debe considerárselo negativo Dos colas El nivel de significancia divido para dos es la Probabilidad z crítico = INV.NORM.ESTAND(Probabilidad) z crítico : Debe considerárselo con doble signo Al nivel de significancia también se lo puede representar con la letra griega α 5

6 Ejemplo 1 Los objetivos de un estudio de los investigadores Wilbur y Frank, eran descubrir los estados menopáusicos, los síntomas, la energía utilizada y la condición física aeróbica en mujeres de edad madura, además de determinar la relación entre estos factores. Entre las variables medidas estaba el consumo máximo de oxigeno (Vo máx ), la calificación media de Vo máx que para una muestra de 242 mujeres fue de 33,3 con una desviación estándar de 12,14 (Fuente: Family and Community Health, Vol. 13:3, p. 73, Aspen Publishers, Inc,.©). Se afirma que la calificación media para una población de mujeres con estas características es mayor a 30. En base a la información proporcionada y considerando un nivel de confianza del 95 %, se puede establecer que: a) La afirmación dada es correcta. Por lo tanto, la calificación media para un población de mujeres con las características mencionadas si es mayor a 30. b) La afirmación dada no es correcta. Por lo tanto, la calificación media para un población de mujeres con las características mencionadas no es mayor a 30. c) Se cumple la condición z calculado < z crítico ; por lo tanto existe evidencia suficiente para aceptar la afirmación. d) No se cumple la condición z calculado > z crítico

Desarrollo del ejemplo 1 Gráfica 7 z crítico = + 1, Zona de aceptación Zona de rechazo

Desarrollo del ejemplo 1 Estadístico calculado – Estadístico crítico 8

Regla de decisión y conclusión Cola superior Regla de decisión Si la condición z calculado < + z crítico se cumple se acepta la hipótesis nula (es decir H o ). En caso de no cumplirse, se rechaza la hipótesis nula y acepta la hipótesis alterna (ósea H 1 ). Para el ejercicio desarrollado, la condición quedaría una vez remplazado el valor del estadístico crítico, como: z calculado < + 1, Conclusión Con un nivel de confianza del 95 % no se cumple la regla de decisión (4,22861 no es menor a 1,644853), por lo tanto se rechaza H o y se acepta H 1. En resumen, la calificación media para una población de mujeres con estas características si es mayor a 30. Respuesta: Literal a) 9

10 Ejemplo 2 Se afirma que la edad media de defunción por la enfermedad de células falciformes homocigóticas es menor que 28 años. Para confirmar o descartar está afirmación, se toma una muestra de 35 pacientes, que proporcionan las siguientes edades en años En base a la información proporcionada y considerando un nivel de confianza del 96 %, se puede establecer que: a) La afirmación dada no es correcta. Por lo tanto, la edad media de defunción por la enfermedad de células falciformes homocigóticas no es menor que 28 años. b) La afirmación dada es correcta. Por lo tanto, la edad media de defunción por la enfermedad de células falciformes homocigóticas es menor que 28 años. c) Se cumple la condición z calculado > z crítico ; por lo tanto existe evidencia suficiente para aceptar la afirmación. d) Se cumple la condición z calculado > z crítico ; por lo tanto no existe evidencia suficiente para aceptar la afirmación. 15,52,045,11,70,81,118,2 27,645,01,066,42,067,42,5 6,913,51,931,29,02,629,7 20,730,936,61,123,60,97,6 23,74,833,227,136,73,238,0

Desarrollo del ejemplo 2 Gráfica 11 z crítico = - 1, Zona de aceptación Zona de rechazo

Desarrollo del ejemplo 2 Estadístico calculado – Estadístico crítico 12

Regla de decisión y conclusión Cola inferior Regla de decisión Si z calculado > z crítico se cumple se acepta la hipótesis nula (es decir H o ). En caso de no cumplirse, se rechaza la hipótesis nula y acepta la hipótesis alterna (ósea H 1 ). Para el ejercicio desarrollado, la condición quedaría una vez remplazado el valor del estadístico crítico, como: z calculado > – 1, Conclusión Con un nivel de confianza del 96 % no se cumple la regla de decisión (– 2, no es mayor a – 1, ), por lo tanto se rechaza H o y se acepta H 1. En resumen, la edad media de defunción por la enfermedad de células falciformes homocigóticas es menor que 28 años Respuesta: Literal b) 13

Ejercicios propuestos 1. Se desea realizar una prueba de hipótesis de dos colas para una muestra de tamaño grande y con un nivel de confianza del 98,1 %. Determine el valor del estadístico z crítico 2. Se desea realizar una prueba de hipótesis de cola superior para una muestra de tamaño grande y con un nivel de confianza del 96,3 %. Determine el valor del estadístico z crítico 14

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA PROPORCIÓN DE UNA POBLACIÓN 15

16 Prueba de Hipótesis para la proporción poblacional: p Se trata de efectuar una prueba de hipótesis acerca de la proporción ¨p¨ de elementos con cierto atributo en una población. Relación matemática

17 Ejemplo 3 Se realizó una encuesta con el fin de estudiar las prácticas sanitarias dentales y las actitudes, de cierta población urbana de adultos. De 300 adultos entrevistados, 123 dijeron que regularmente se sometían a una revisión dental dos veces al año. Pruebe la hipótesis nula de que p = 0.5 (el 50 % de los adultos de dicha población se someten regularmente a una revisión dental, dos veces al año). Use un nivel de significancia del 1 %

18 Desarrollo del ejemplo 3 Ho se rechaza y se puede concluir por tanto que el 50% de la población no se hace una revisión dental dos veces al año. Z=-2,5758Z=2,5758

Desarrollo del ejemplo 3 19

Desarrollo del ejemplo 3 20

Desarrollo del ejemplo 3 21

Desarrollo del ejemplo 3 22

Ejemplo 4 En una investigación de consumidores de drogas intravenosas en una ciudad grande, encontraron a 18 de 423 individuos con VIH positivo. Se afirma que menos de 5 % de los consumidores de drogas intravenosas en la probación muestreada tienen VIH positivo. Para confirmar o descartar la afirmación, se le pide que analice la información dada con un nivel de significancia del 4,2 %. Por lo que Usted establece que: a) La afirmación dada no es correcta. Por lo tanto, el porcentaje de consumidores de drogas intravenosas en la probación muestreada que tienen VIH positivo no es menor al 5 %. b) La afirmación dada es correcta. Por lo tanto, el porcentaje de consumidores de drogas intravenosas en la probación muestreada que tienen VIH positivo es menor al 5 %. c) Se cumple la condición z calculado < z crítico ; por lo tanto existe evidencia suficiente para aceptar la afirmación. d) Se cumple la condición z calculado > z crítico ; por lo tanto existe evidencia suficiente para aceptar la afirmación. 23

Desarrollo del ejemplo 4 Gráfica 24 z crítico = - 1, Zona de aceptación Zona de rechazo

Desarrollo del ejemplo 4 Estadístico calculado – Estadístico crítico 25

Regla de decisión y conclusión Cola inferior Regla de decisión Si z calculado > z crítico se cumple se acepta la hipótesis nula (es decir H o ). En caso de no cumplirse, se rechaza la hipótesis nula y acepta la hipótesis alterna (ósea H 1 ). Para el ejercicio desarrollado, la condición quedaría una vez remplazado el valor del estadístico crítico, como: z calculado > – 1, Conclusión Con un nivel de significancia del 4,2 % se cumple la regla de decisión (– 0, es mayor a – 1, ), por lo tanto se acepta H o y se rechaza H 1. En resumen, el porcentaje de consumidores de drogas intravenosas en la probación muestreada que tienen VIH positivo no es menor al 5 %. Respuesta: Literal a) 26

Condiciones para aceptar la Hipótesis nula Proporción Si se cumple la condición al hacer el procedimiento de “prueba de hipótesis” se acepta H 0 27

Ejercicio propuesto El National Safety Council reportó que el 52 % de los conductores en las carreteras estadunidenses son hombres. Una muestra de 300 autos que ayer viajaron hacia el sur por la New Jersey Tumpike reveló que 170 iban conducidos por hombres. Con un nivel de significancia de 0,01 ¿existe evidencia para indicar que por la New Jersey Tumpike conducía una proporción de hombres mayor a la indicada por las estadísticas nacionales? 28

Conceptos complementarios Se plantea una Hipótesis de cola superior cuando se indica que: Es superior a : H 1 Mas de : H 1 No es superior a : H o Se plantea una Hipótesis de cola inferior cuando se indica que: Es inferior a: H 1 Menos de : H 1 No es inferior a : H o Se plantea una Hipótesis de dos colas cuando se indica que: Es diferente a : H 1 No es igual a : H 1 Es igual a : H o Es : H o En cada condición esta el tipo de Hipótesis a que se refiere en el planteamiento de un problema. 29

30 Prueba de Hipótesis en dos poblaciones normales y tamaño pequeño Caso A: Igualdad de medias cuando las varianzas poblacionales son desconocidas e iguales y el tamaño de la muestra es pequeño.

31 Ejemplo 5 Un investigador en el campo educativo sostiene que el módulo didáctico empleado en la enseñanza de Matemáticas es uno de los factores que influye en el proceso de enseñanza aprendizaje. Para lo cual durante un semestre se llevó a cabo el trabajo lectivo en dos grupos independientes de estudiantes de la misma carrera en la misma universidad, empleando dos métodos (A y B) de características bien diferenciadas. Al final del curso se aplicó el mismo examen, se desarrollo el análisis respectivo sobre las notas. El resumen se presentan a continuación Método AMétodo B Media1513 Desviación estándar 1, , n97 Suponiendo que las muestra provienen de poblaciones normales con desviaciones desconocidas e iguales, ¿los resultados encontrados por el profesor apoyan la hipótesis de investigación con nivel de significancia de 0,01

Desarrollo del ejemplo 5 Primer paso Planteo de las hipótesis H ₀ : μ ₁ = μ ₂ (Hipótesis nula) H ₁ : μ ₁ ≠ μ ₂ (Hipótesis alterna) Es una prueba de dos colas Segundo paso Calculo del estadístico crítico 32 Z= -2,9768Z = 2,9768 Grados de libertad g.l. = n 1 + n 2 – 2 g.l14 Valor critico n.s.0,01 α t critico 2,976843

Desarrollo del ejemplo 5 Tercer paso Calcular el estadístico 33 n₁n₁ 9 n₂n₂ 7 X₁X₁ 15 X₂X₂ 13 µ ₁₋₂ 0 S₁S₁ 1,4142 S₂S₂ 1,5119 S₁²S₁² 2 S₂²S₂² 2,2857 S² 1,7908 t calculado 2,9656

Resumen: Ejemplo 5 De acuerdo a los cálculos se tiene que: t calculado = 2,96563 La región de aceptación para la hipótesis nula (H ₀ ) está entre -2,9768 y 2,9768 Como se puede ver en la gráfica el valor del estadístico t calculado se sitúa en la región de aceptación para H ₀, es decir se cumple que –t critico < t calculado < + t critico (Regla de decisión para una prueba de dos colas) 2, t critico = - 2,9768 t critico = 2,9768

Conclusión – Ejemplo 5 Con un nivel de significancia de 0,01 se acepta H ₀ ; por lo tanto los resultados encontrados por el profesor apoyan la hipótesis de investigación. 35

Ejercicio propuesto Una prueba diseñada para medir las actitudes de las madres en cuanto al trabajo de parto y el período de expulsión se aplicó a dos grupos de madres primerizas. La muestra 1 (asistentes) acudieron a clases de instrucción prenatal impartidas en el departamento de salud. La muestra 2 (ausentes) no asistieron a clases. El tamaño de la muestra, media y desviaciones estándar de las para la prueba son las siguientes Asumiendo varianzas poblacionales desconocidas e iguales,¿ proporcionan estos datos la evidencia suficiente para indicar que los asistentes, en promedio, tienen calificaciones diferentes a las de las ausentes?. Use un α = 0, Muestran s 1154,751,0 2143,001,5