POLINOMIOS U. D. 3 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

REGLA DE RUFINNI U. D. 3.5 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Regla de Ruffini REGLA DE RUFFINI Cuando se trate de dividir un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x - a), siendo a un número, la división de puede realizar de una forma más rápida y precisa: 1.‑ Se reduce el dividendo. 2.‑ Se ordena el dividendo forma decreciente. 3.‑ Si el dividendo es incompleto, poner ceros. 4.‑ Se colocan en fila los coeficientes del dividendo, incluidos los ceros. 5.- Se coloca a la izquierda el valor del número a. 6.- Se aplicar el algoritmo correspondiente de Ruffini. 7.‑ Los números obtenidos son los coeficientes del cociente, salvo el último que es el resto de la división. 8.- Se puede comprobar el resultado, pues siempre se cumplirá: D(x) = d(x).c(x) + r(x). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejemplo_1 de división por Ruffini Sea ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x - 3 ) , donde a = 3 1 4 0 - 5 + 3 3 21 63 1 7 21 58 C(x) = 1.x2 + 7.x + 21 R(x) = 58 Podemos comprobar la división: (x3 + 4.x2 - 5) = (x - 3).(x2 + 7.x + 21) + 58 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejemplo_2 de división por Ruffini Sea ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x + 5 ) , donde a = - 5 1 4 0 - 5 + - 5 - 5 5 - 25 1 - 1 5 - 30 C(x) = 1.x2 - 1.x + 5 R(x) = - 30 Podemos comprobar la división: (x3 + 4.x2 - 5) = (x + 5 ).(x2 - x + 5) + (- 30) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejemplo_3 de división por Ruffini Sea ( 4.x3 + 5.x - 3 ) : ( x + 2 ) , donde a = - 2 4 0 5 - 3 + - 2 - 8 16 - 42 4 - 8 21 - 45 C(x) = 4.x2 - 8.x + 21 R(x) = - 45 Podemos comprobar la división: ( 4.x3 + 5.x - 3 ) = ( x + 2 ).(4.x2 - 8.x + 21) + (- 45) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Método escalonado de Ruffini Sea P(x) = x3 – 3 x2 + 3.x – 1 dividido entre Q(x) = (x – 1) Como P(x) es una potencia notable, sabemos que: P(x) = (x – 1)3 = (x – 1). (x – 1). (x – 1) Luego al dividir P(x) entre (x – 1) la división será exacta y el resto 0. Podemos poner: D(x) = d(x).C(x) (x – 1)3 = (x – 1). (x2 – 2.x + 1) Seguimos dividiendo por Ruffini, ahora C(x) : (x – 1) Y tendremos C(x) = (x – 1).(x – 1) Con lo cual: (x – 1)3 = (x – 1). (x – 1). (x – 1) Este método escalonado se emplea para hallar las raíces o ceros de un polinomio; o lo que es lo mismo, para resolver ecuaciones de grado superior a 3 como veremos en los apartados siguientes. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Un ejemplo 1 - 3 3 - 1 + 1 1 - 2 1 1 - 2 1 0 1 1 - 1 1 - 1 0 1 1 1 0 Sea P(x) = x3 - 3 x2 + 3.x - 1 Tenemos que encontrar los ceros del polinomio, que es lo mismo que resolver la ecuación: x3 - 3 x2 + 3.x - 1 = 0 Dividimos entre (x – 1) y si da de resto cero entonces el 1 es una raíz de P(x). MUY IMPORTANTE: Si el resto no es 0 no se puede seguir aplicando el método escalonado de Ruffini. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Otro ejemplo 1 3 0 - 4 + 1 1 4 4 1 4 4 0 - 2 - 2 - 4 1 2 0 - 2 - 2 1 0 Sea P(x) = x3 + 3. x2 - 4 Tenemos que resolver la ecuación: x3 + 3 x2 - 4 = 0 Al dividir entre (x – 1) el resto es 0. Seguimos aplicando el método escalonado. Pero como al dividir otra vez entre (x – 1) no nos da de resto 0, probamos dividir entre (x + 1), luego entre (x – 2) y finalmente vuelve a ser el resto 0 al dividir entre (x + 2). P(x) = (x – 1).(x2 + 4. x + 4) P(x) = (x – 1).(x + 2).(x + 2) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.