La actividad científica

Etapas en una investigación científica 1.- Planteamiento del problema que se va a estudiar Generalmente, el problema se formula a partir de: La observación de un hecho nuevo o imprevisto (un eclipse de Sol, el aumento del agujero de la capa de ozono en la Antártida). Por una necesidad de tipo técnico (la curación del SIDA).

Etapas en una investigación científica 2.- Búsqueda bibliográfica Es la recopilación y estudio de la información disponible sobre el tema que se va investigar. Esta tarea pone de manifiesto la importancia del carácter acumulativo de la Ciencia. Es decir, ninguna investigación parte de cero, sino que la Ciencia es un producto colectivo que se apoya en el trabajo de generaciones de hombres y mujeres.

Etapas en una investigación científica 3.- Emisión de hipótesis Los nuevos problemas no se abordan a partir de cero, sino siempre desde vivencias, estudios realizados, ideas previas, etc. Una hipótesis científica es una suposición verosímil, creíble, que admite la posibilidad de ser comprobada experimentalmente. Raramente una hipótesis puede ser verificada directamente, por lo que una de las condiciones que deben cumplir las hipótesis es que de ellas se puedan extraer consecuencias comprobables experimentalmente.

Etapas en una investigación científica 4- Diseño de experimentos El estudio, en profundidad, de un fenómeno requiere en primer lugar la determinación de todos los factores que intervienen en él. Un experimento científico es un acto de observación, que reúne las siguientes características: Tiene carácter cuantitativo. No basta con mirar, hay que medir. Se controlan rigurosamente las condiciones en que se hace. Debe ser reproducible.

Etapas en una investigación científica 5- Tratamiento de resultados Como consecuencia de las mediciones realizadas en el experimento, el científico se encuentra con un conjunto de datos que debe analizar y estudiar hasta captar su significado. Para que el análisis resulte más fácil los datos disponibles se organizan en cuadros, tablas, etc. Si los resultados de un experimento son numéricos, se suelen hacer representaciones gráficas para poder observar si existe una relación entre las variables estudiadas.

Etapas en una investigación científica En las tablas se ordenan los datos numéricos obtenidos, especificando siempre las unidades que se ponen entre paréntesis. Por ejemplo: masa, m (g) 1'9 3'9 9'7 11'7 15'6 19'5 volumen, V (cm3) 0'25 0'50 1'20 1'50 2'00 2'50 Con las representaciones gráficas se puede ver si existe algún tipo de proporcionalidad y obtener una expresión matemática que relacione las magnitudes que intervienen en la resolución del problema. Por ejemplo: m = 9'5 · V

Etapas en una investigación científica 6- Obtención de conclusiones Las conclusiones pueden manifestarse en forma de regularidad, dato numérico, nuevo hecho, verificación, etc., según la naturaleza del problema. Si las conclusiones afectan a un elevado número de casos pueden generalizarse y se fórmula una ley. Una ley científica es una hipótesis confirmada experimentalmente. Tiene como rasgo fundamental su expresión matemática. Una teoría es un conjunto de hipótesis y de leyes.

Etapas en una investigación científica 7- Comunicación de los resultados Para comunicar los resultados de un experimento se elabora un informe que se envía a las revistas especializadas. El informe debe ser: Objetivo, debe contar lo que realmente ha ocurrido Preciso, para que cualquier otro investigador que lea el informe pueda repetir el experimento y obtener los mismos resultados.

Etapas en una investigación científica Un buen informe consta de: Portada: debe incluir el título, autores, lugar y fecha. Introducción: explicando el porqué de la investigación y las hipótesis de trabajo que se pretenden demostrar. Método y material utilizado. Resultados. Se utilizan tablas, gráficas y ecuaciones. Se detallan los resultados y el análisis desarrollado sobre ellos Conclusiones. deducciones obtenidas a partir del experimento y si las hipótesis eran correctas o no. Bibliografía. se enumeran los trabajos anteriores que se han utilizado como punto de partida para la investigación

¿Por qué hay que medir? Pregunta En los dibujos A y B, la figura geométrica central tiene los lados rectos o curvos? En el dibujo C, ¿Las líneas son paralelas? En A y B los lados son rectos y en C las líneas son paralelas. Tenemos que medir porque nuestros sentidos pueden engañarnos y llevarnos a cometer un error.

Se miden magnitudes físicas Magnitud física: es cualquier propiedad que se pueda medir. Pregunta: ¿Qué magnitudes miden los siguientes aparatos de medida?

Se miden magnitudes físicas Medir es comparar una magnitud con otra, que se toma como patrón, denominada unidad. Como la elección de una unidad es arbitraria, ésta debe ser: Constante (no ha de cambiar con el tiempo, ni depender de quien realice la medida). Universal (debe ser utilizadas por todos los países). Fácil de reproducir. Por ello, los científicos han adoptado el Sistema Internacional de Unidades (SI), en el que a cada magnitud se le asigna su unidad SI.

Tipos de magnitudes Fundamentales: son las que se definen a partir de propiedades observables en los cuerpos y no como combinaciones de otras magnitudes. Su elección fue arbitraria y son: longitud, masa, tiempo, intensidad de corriente, temperatura, cantidad de sustancia e intensidad luminosa. Derivadas: son las que se pueden definir o averiguar a partir de las fundamentales. Ejemplo: volumen, velocidad, etc.

Las dimensiones Ecuación de dimensiones es una expresión matemática que relaciona una magnitud derivada con las magnitudes fundamentales correspondientes. Magnitud fundamental Unidad SI Símbolo Dimensión Longitud metro m L Masa kilogramo kg M Tiempo segundo s T Temperatura kelvin K q Cantidad de sustancia mol I Intensidad de corriente amperio A J Intensidad luminosa candela cd N

Ecuación de dimensiones En las ecuaciones dimensionales la magnitud derivada, que se va a definir, se escribe entre corchetes y se iguala a su fórmula, sustituyendo cada magnitud por sus dimensiones correspondientes. Por ejemplo: El volumen: [V] = largo · alto · ancho = L · L · L = L3 La densidad: [d]= m/V = M · L-3 La velocidad: [v] = Dx/Dt = L · T-1

Ecuación de dimensiones Ejercicio 1 Indica si las siguientes magnitudes son fundamentales o derivadas: tiempo, velocidad, volumen, masa, aceleración, temperatura, superficie, mol, fuerza, energía cinética, energía potencial, trabajo. Fundamentales: tiempo, masa, temperatura, mol. Derivadas: superficie, aceleración, peso, fuerza, presión, energía cinética, energía potencial, trabajo

Ecuación de dimensiones Ejercicio 2 Escribe la ecuación dimensional de las magnitudes derivadas del ejercicio anterior. Superficie: [S] = base · altura = L·L = L2 Aceleración: [a] = = L·T-2 Peso: [p] = m · g = M·L·T-2 Fuerza: [F] = m · a = M·L·T-2 Presión: [P] = = M·L·T-2·L-2 = M·L-1·T-2 Energía cinética: [Ec] = 0'5 · m · v2 = M·L2·T-2 Energía potencial: [Ep] = m · g · h = M·L·T-2·L = M·L2·T-2 Trabajo: [W] = F · Dx = M·L·T-2·L = M·L2·T-2

Ecuación de dimensiones Ejercicio 3 La ley de la gravitación universal de Newton establece que la fuerza con que dos cuerpos se atraen es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional a cuadrado de las distancias que las separa: Donde G es la constante de gravitación universal. Determina la ecuación dimensional de esta constante y, a partir de ella, su unidad en el SI. [G] = = M·L·T-2·L2·M-1·M-1 = L3·T-2·M-1 Unidades =

Características de los instrumentos de medida Escala del instrumento: Alcance (valores máximo y mínimo que pueden medir). Unidad de la escala. Sensibilidad (valor mínimo de la magnitud que puede ser apreciado. Es la división más pequeña de su escala) Fundamentación (principios físicos o químicos en que se basa su funcionamiento) Forma en que se maneja. Posible "error de cero".

Características de los instrumentos de medida Ejercicio 4 Observa los distintos aparatos de medida y completa la tabla: Aparato Magnitud Unidad Alcance Sensibilidad Pipeta Regla Termómetro Probeta Balanza Cinta Métrica Dinamómetro Reloj

Errores en la medida Error sistemático - tiene que ver con la forma en que se hace la medida. Error del instrumento, por tener un defecto de fabricación o mal calibrado. No pueden eliminarse. Para limitarlos es conveniente realizar controles de calidad periódicos. Error del operador, porque el operador no utiliza el instrumento adecuadamente. Estos errores se pueden corregir enseñando al operador a utilizar el instrumento correctamente. Error accidental- se produce al azar, debido a causas imposibles de controlar. Las medidas obtenidas se agrupan en torno a un valor central. Se puede minimizar haciendo muchas medidas y tomando como valor más probable la media aritmética de las medidas.

Cálculo de errores Para saber si las medidas realizadas son aceptables, hay que calcular el error cometido al hacerlas. Error absoluto, ea: es el mayor entre los siguientes valores: El valor absoluto de la diferencia entre el valor medido y el valor que se toma como representativo. La incertidumbre de la medida, es decir la sensibilidad del aparato Normalmente, para minimizar los errores, se suele repetir la medida varias veces y se toma, como valor representativo, la media aritmética de todas las medidas

Cálculo de errores El valor de la magnitud que se ha medido se debe expresar ahora: ± ea Por ejemplo: si el resultado de medir la altura es 1'76 ± 0'02 m significa que su "verdadera" altura es muy probable que se encuentre entre 1'74 y 1'78 m.

Cálculo de errores Cálculo del error absoluto cuando se hacen varias medidas: Se haya la media aritmética de la serie de medidas. Se calcula la desviación entre cada medida y la media, restando cada valor de la media. Se halla el valor absoluto de la desviación. Se halla la media aritmética de las desviaciones. Si el error absoluto calculado es inferior a la sensibilidad del aparato, se tomará ésta como error absoluto.

Cálculo de errores Error relativo, er: es el cociente entre el error absoluto y el valor representativo de la medida. Si se multiplica este cociente por cien, la imprecisión relativa se expresa en %. El error relativo nos indica la calidad real de una medida. No es lo mismo cometer un error absoluto de 0'1 cm en una medida de 1 m, que en una medida de 1 km.

Cálculo de errores Ejercicio 5 El conjunto de los alumnos de la clase procederá a medir la altura de un compañero/a, utilizando cintas métricas como instrumento. Cada alumno/a realizará su medida independientemente, sin intercambios verbales, y mientras dure este proceso el resto observará cómo se procede a medir, anotando posibles errores, etc. a) Observarás que no se obtiene un único valor en el proceso de medida. Indica las causas de esta variedad de resultados. b) ¿Qué valor se puede tomar como representativo de la serie de medidas de la actividad? c) Calcula el error absoluto de la medida de la altura de tu compañero/a. d) Expresa de forma correcta la medida de la altura de la actividad. e) Calcula el error relativo.

Cálculo de errores Ejercicio 6 Determina el error relativo de las siguientes medidas. Expresa el resultado en %. a) Valor real: 8'45 m. Error absoluto = 0'05 m b) Valor real: 31'2 m. Error absoluto = 0'10 m c) Valor real: 444 cm . Error absoluto = -2'0 cm d) Valor real: 8350 J. Error absoluto = 10 J 0'59 %, 0'32 %, 0'45 %, 0'12 %

Las variables El estudio en profundidad de un fenómeno requiere en primer lugar la determinación de todos los factores que intervienen en él.  Variable: es una magnitud física que interviene en un experimento y cuyo valor puede variar a lo largo de él. Hay tres tipos:

Las variables Hay tres tipos Variable controlada es la que permanece fija durante el experimento. Variable independiente es la que el investigador va modificando. Variable dependiente es la que el investigador observa como varía al modificar la variable independiente. Variable independiente: nº de gotas Variable dependiente: altura del agua

Las variables Ejemplo: En esta experiencia se mide la altura que alcanza el agua dentro del frasco a medida que van cayendo las gotas. Las variables serán: Variable independiente: nº de gotas Variable dependiente: altura del agua

Precio de las pizzas Las variables 5 € 10 € 15 € Variable independiente: tamaño de la pizza Variable dependiente: precio de la pizza

Las variables Variable independiente: nº de trabajadores Variable dependiente: tiempo de recogida

Las variables Nº gotas 10 20 30 40 50 Altura (cm) 60 80 100 Como consecuencia de las mediciones, el científico se encuentra con un gran número de datos que debe analizar para ver si están relacionados o no, captar su significado y deducir consecuencias. Para que su estudio resulte más fácil y comprensible, los datos se organizan, en cuadros, tablas y, si los resultados de un experimento son numéricos, en forma de gráficas. Nº gotas 10 20 30 40 50 Altura (cm) 60 80 100

Representación de gráficas Para representar los datos de una tabla de valores se suele utilizar un sistema de referencia cartesiano, llamado así en honor de René Descartes (matemático francés del siglo XVII).  X Consta de dos rectas perpendiculares llamadas ejes de coordenadas, que se cortan en un punto que se llama, origen, O. Y

Representación de gráficas El eje horizontal se llama eje de abscisas (o eje X) y en él se suele representar la variable independiente.. El eje vertical se llama eje de ordenadas (o eje Y) y en él se suele representar la variable dependiente. X Y

Representación de gráficas Una vez elegida cuál es la escala de cada eje, cada punto del plano puede "nombrarse" mediante dos números, llamados componentes o coordenadas, que se escriben encerrados entre paréntesis y separados por una coma (x , y). El primer número se llama abscisa y es la distancia de ese punto al eje Y. El segundo número se llama ordenada y es la distancia del punto al eje X. Abscisa (x) Ordenada (y)

Representación de gráficas Por convenio se considera que: El signo negativo para la coordenada x se utiliza si el punto se encuentra a la izquierda del origen. El signo negativo y para la coordenada y se utiliza cuando está por debajo del origen.

Representación de gráficas Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro partes que se llaman cuadrantes. Segundo cuadrante Primer cuadrante Tercer cuadrante Cuarto cuadrante

Representación de gráficas Pregunta:¿Cuáles son las coordenadas de los siguientes puntos? A (15,10) C (5,-5) (15,-5) B D (-10,-10)

Representación de gráficas 1.- Situación de los ejes de coordenadas. Los ejes deben situarse a 1 ó 2 cm del margen blanco del papel de manera que la superficie comprendida entre los ejes y el límite sirva para numerar y asignar nombre a los ejes. La variable independiente se representa en el eje de abscisas (X) y la variable dependiente en el eje de ordenadas (Y).

Representación de gráficas 1.- Situación de los ejes de coordenadas. En el primer ejemplo las variables dependiente e independiente sólo toman valores positivos. En el segundo, la variable independiente sólo toma valores positivos y la independiente valores positivos y negativos. En el tercer ejemplo las dos variables toman valores positivos y negativos.

Representación de gráficas 2.- Determinación de la escala. La escala se escoge de manera que un cuadro equivalga a 1, 2, 5, 10, 20, … unidades. No deben utilizarse 3, 7, 9, etc. porque complicaría la interpretación posterior de la gráfica. También hay que tener en cuenta que la gráfica resultante no esté confinada en un área pequeña. Correcto Incorrecto

Representación de gráficas 3.- Numeración de los ejes de coordenadas. Según la escala elegida se ponen marcas a lo largo de cada eje y se pone, al final del eje, el símbolo de la magnitud y su unidad correspondiente.

Representación de gráficas 3.- Numeración de los ejes de coordenadas. No se señala cada cuadro. Sólo se marcan cada 2, 5 ó 10 cuadros. Incorrecto Correcto

Representación de gráficas 3.- Numeración de los ejes de coordenadas. Masa (g) 1’9 3’9 9’7 11’7 15 Volumen (cm3) 0’25 0’5 1’20 1’5 2 Los ejes se numeran de modo que cada variable comience cerca de los valores mínimos representados. No es imprescindible que la gráfica contenga el punto (0,0), aunque sí es recomendable, siempre que sea posible.

Representación de gráficas 4.- Localización de los puntos representativos de los datos. Los puntos se localizan en el papel usando pequeños puntos o bien líneas horizontales y verticales, de unos 2 mm de longitud y de trazo lo más fino posible, en forma de signo +.

Representación de gráficas 5.- Ajuste de la curva con los puntos obtenidos. Las gráficas nunca se dibujan uniendo todos los puntos obtenidos experimentalmente, sino que se deben dibujar suavizando la línea, es decir, haciendo que se aproxime a todos los puntos posibles. Si uno o dos puntos están fuera de la trayectoria de la gráfica de manera notable, se ignoran.

Representación de gráficas 5.- Ajuste de la curva con los puntos obtenidos. Cuando se traza más de una curva hay que diferenciarlas entre sí usando diferentes símbolos: líneas punteadas o interrumpidas o tinta de diferentes colores.

Representación de gráficas Ejercicio 8: Representa en papel milimetrado la tabla de valores. Nº gotas 10 20 30 40 50 Altura (cm) 60 80 100 ¿Cuál es la variable independiente? El nº de gotas. ¿Cuál será la escala aconsejable? De 0 a 50, dividida de 10 en 10. ¿Cuál es la variable dependiente? La altura del agua. ¿Cuál será la escala aconsejable? De 0 a 100, dividida de 20 en 20.

Representación de gráficas Nº gotas 10 20 30 40 50 Altura (cm) 60 80 100

Representación de gráficas Ejercicio 9: Se ha medido la altura máxima, h alcanzada por un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba con una cierta velocidad, v, obteniéndose una tabla de valores que hay que analizar: v (m/s) 10 20 30 40 50 h (m) 5 44 82 128 ¿Cuál es la variable independiente? La velocidad de lanzamiento ¿Cuál será la escala aconsejable? De 0 a 50, dividida de 10 en 10. ¿Cuál es la variable dependiente? La altura que alcanza el cuerpo. ¿Cuál será la escala aconsejable? De 0 a 130, dividida de 20 en 20 o de 10 en 10.

Representación de gráficas

Representación de gráficas Ejercicio 10: Se mide, a temperatura constante, cómo varía la presión, de una determinada cantidad de gas contenido dentro de un pistón, al variar el volumen y se obtiene la siguiente tabla de valores. Haz la representación gráfica: p (atm) 1 2 4 5 8 10 20 40 V (l) 2'5 0'5 ¿Cuál es la variable independiente? El volumen del gas ¿Cuál será la escala aconsejable? De 0 a 20, dividida de 5 en 5, o de 2 en 2. ¿Cuál es la variable dependiente? La presión del gas ¿Cuál será la escala aconsejable? De 0 a 40, dividida de 5 en 5 o de 10 en 10.

Representación de gráficas

Representación de gráficas Las gráficas permiten determinar si existe alguna relación entre las variables estudiadas o no. Si, en la gráfica, los puntos aparecen dispersos significará que no hay relación entre las variables, si aparecen alineados significará que sí la hay. Cuando los puntos están alineados se dice que la variable dependiente es función de la variable independiente

Definición de función Pequeña Mediana Grande 5 € 10 € 15 € Una función es una ley que relaciona dos variables de forma unívoca, es decir, que a cada valor de la variable independiente le hace corresponder un valor y sólo uno de la variable dependiente. Ejemplo: El precio de la pizza es función del tamaño. Cada tamaño de pizza tiene un único precio.

Precio pizza = f(tamaño pizza) Definición de función Pequeña Mediana Grande 5 € 10 € 15 € En Matemáticas esto se representa con la expresión: y = f(x) donde x representa la variable independiente e y la variable dependiente. Precio pizza = f(tamaño pizza) (¡Atención: podría haber más de una variable independiente!).

Formas de representar una función Una gráfica. Una tabla de valores. Tamaño pizza (cm) 20 40 60 Precio (€) 5 10 15 Una frase que exprese la relación entre ambas variables. El precio de la pizza aumenta al aumentar el tamaño de ésta. Una expresión matemática del tipo: y = f(x). Precio pizza = 0’25 . tamaño pizza

Tipos de funciones Polinómicas Funciones algebraicas Racionales Son las que pueden expresarse mediante un número finito de operaciones (+, - , · , : , ) y que contienen potencias (xn) Irracionales Exponenciales Funciones trascendentes Logarítmicas Son todas las demás. Trigonométricas

Función constante Su expresión analítica es: y = K siendo K un número real cualquiera.  La gráfica de este tipo de funciones es una línea recta horizontal. Sea cual sea el valor de x, la función siempre toma el valor K, por tanto, y no depende del valor que tome x. Un ejemplo de función constante sería una tarifa telefónica plana, en la que el precio mensual es siempre el mismo independientemente del número de llamadas que se haga.

Ejercicios de Funciones a) ¿Qué tipo de función está representada? ¿Por qué? b) ¿Qué tipo de proporcionalidad o dependencia hay entre las variables x e y? c) ¿Cuál es la ecuación general que corresponde a esta gráfica? d) ¿Cuál es la ecuación particular? a) Función constante. Porque la gráfica es una línea recta horizontal. b) No hay. y no depende de x. c) y = k d) y = 40

Función afín Su expresión analítica es: y = m · x + b La gráfica de este tipo de función es una línea recta, por eso se dice que y depende linealmente de x. (Dependencia lineal) Un ejemplo de función afín es una tarifa telefónica normal. La mensualidad es suma de una cantidad fija (mantenimiento de línea) y de otra cantidad que depende del número de llamadas.

Función afín y = m x + b b, la ordenada en el origen, es el valor que toma la función cuando x es igual a cero. En la gráfica es el punto donde la línea corta al eje y. m, la pendiente, es una medida de la inclinación de la recta. Se calcula: x2 m x1 y2 y1 b

Función afín Para hacer la representación gráfica a partir de la función, se hace una tabla de valores (con dos puntos es suficiente para dibujar una recta). Para averiguar la función a partir de una tabla de valores se utiliza la ecuación: .

Ejercicios de Funciones a) ¿Qué tipo de función se corresponde con esta gráfica? ¿Por qué? b) ¿Qué tipo de dependencia hay entre las variables c) ¿Cuál es su ecuación general? d) ¿Cuál es su ecuación particular? a) Es una función afín porque la gráfica es una línea recta que no pasa por el origen. b) Entre las variables hay una dependencia lineal. c) Su ecuación general es: y = m x + b

Ejercicios de Funciones d) ¿Cuál es su ecuación particular? ¿Cuánto vale b? b = 1 ¿Cuánto vale m? Para calcular m, se cogen dos puntos, por ejemplo: (2,5) y (4,9) y = 2 x + 1

Ejercicios de Funciones Otra forma de calcular la ecuación consiste en escoger dos puntos cualesquiera de la gráfica y sustituir sus coordenadas en la ecuación: por ejemplo: (2,5) y (4,9) y – 5 = 2 ( x – 2) y – 5 = 2x – 4 y = 2 x + 1 y = 2x – 4 + 5

Función lineal Es un caso particular de la función afín, para b = 0: Su expresión analítica es: y = m · x La gráfica de este tipo de función es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. En este caso, la dependencia es directamente proporcional. b = 0 Para hacer la representación gráfica a partir de la función, se hace una tabla de valores (una de las coordenadas es el punto (0,0) por lo que solo hace falta otro punto para dibujar la recta).

Precio pizza = f(tamaño pizza) Función lineal Precio de las pizzas 5 € 10 € 15 € Precio pizza = f(tamaño pizza) Se trata de una función lineal, porque para tamaño 0 el precio es 0 €.

Ejercicios de Funciones a) ¿Qué tipo de función relaciona la altura del agua con el número de gotas, correspondiente a la tabla de valores del ejercicio 7? ¿Por qué? Nº gotas 10 20 30 40 50 Altura (cm) 60 80 100 b) ¿Qué tipo de dependencia hay entre las variables c) ¿Cuál es su ecuación general? d) ¿Cuál es su ecuación particular? a) Se trata de una función lineal ya que la gráfica es una recta que pasa por el origen.

Ejercicios de Funciones b) La altura es directamente proporcional al número de gotas. c) Su ecuación general: y = m · x d) La ecuación particular: puntos: (0,0) y (10,20) y = 2 x

Función cuadrática La expresión analítica: y = ax2 + bx + c La gráfica de este tipo de funciones es una curva denominada parábola. Cuando una función es de este tipo se dice que la y depende cuadráticamente de la x. Un ejemplo de función cuadrática es el espacio que recorre, un cuerpo en caída libre, con el tiempo: e = 4'9 · t2 Para hacer la representación gráfica a partir de la función, se hace una tabla de valores, pero es interesante calcular las coordenadas del vértice.

Ejercicios de Funciones a) ¿Qué tipo de función relaciona la altura máxima, h alcanzada por un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba con una cierta velocidad, v, correspondiente a la tabla de valores del ejercicio 8? v (m/s) 10 20 30 40 50 h (m) 5 44 82 128 b) ¿Qué tipo de dependencia hay entre las variables? c) ¿Cuál es su ecuación general?

Ejercicios de Funciones Como la gráfica es una parábola la altura alcanzada por el cuerpo es función cuadrática de la velocidad de lanzamiento. b) Dependencia cuadrática. c) Su ecuación general: y = ax2 + bx + c

Ejercicios de Funciones 0 = a · 02 + b · 0 + c 5 = a · 102 + b · 10 + c 20 = a · 202 + b · 20 + c c = 0 5 = 100 a + 10 b 20 = 400 a + 20 b -10 = -200 a – 20 b 20 = 400 a + 20 b 10 = 200 a a = = 0'05 20 = 400 · 0'05 + 20 b 20 = 20 + 20 b 20-20 = 20 b 0 = 20 b b = = 0 Ecuación particular: y = 0'05 · x2 → h = 0'05 · v2

Función inversa La expresión analítica: donde k es un número cualquiera distinto de cero.  La gráfica de este tipo de funciones es una curva denominada hipérbola equilátera. Cuando una gráfica es de este tipo se dice que y es inversamente proporcional a x.  Para hacer la representación gráfica a partir de la función, se hace una tabla de valores.

Función inversa Tiempo de recogida = f (nº trabajadores) Ejemplo de función inversa

Ejercicios de Funciones ¿Qué tipo de función relaciona el volumen, V, y la presión, p, de una determinada cantidad de gas, correspondiente a la tabla de valores del ejercicio 9? p (atm) 1 2 4 5 8 10 20 40 V (l) 2'5 0'5 b) ¿Qué tipo de dependencia hay entre las variables? c) ¿Cuál es su ecuación general?

Ejercicios de Funciones a) Como la gráfica es una hipérbola, la presión, es función inversa del volumen, b) Son inversamente proporcionales. c) Ecuación general: y = k = 2 · 10 = 20 atm/l Es decir: y = La ecuación de la función es: p = o también: p · V = 20