Funciones.

Funciones

Las magnitudes físicas
Para estudiar un determinado fenómeno, los científicos realizan experimentos. Un experimento científico es un acto de observación, pero, con las siguientes características: Se controlan rigurosamente las condiciones en que se hace el experimento. No basta con mirar, hay que medir. Cualquier persona que repita el experimento debe poder obtener los mismos resultados.

Magnitud física: es cualquier propiedad que se pueda medir. Pregunta: ¿Qué magnitudes miden los siguientes aparatos de medida?

Pregunta Si decimos que la temperatura es de 40 ºC , ¿Hará calor o frío? No se necesitan más datos para saber que hará calor.

Pregunta Sobre una caja se aplica una fuerza de 20 N. ¿Hacia dónde se moverá? No se puede saber. Falta información ¿Qué información habría que saber? Dónde se aplica la fuerza, la dirección y el sentido ¿Y ahora se puede saber? Evidentemente, se va a desplazar hacia la izquierda En conclusión, hay dos tipos de magnitudes físicas:

Magnitudes escalares y vectoriales
Magnitudes escalares son aquellas que, como la masa, la temperatura, la energía, etc., basta con saber su valor numérico (con su unidad correspondiente) para conocer su efecto. Gráficamente se representan mediante un punto en una escala (de ahí el nombre). Como símbolo se suelen utilizar letras latinas o griegas (T, m, V, E, a, b,...).

Magnitudes escalares y vectoriales
Magnitudes vectoriales son aquellas que, como la fuerza, la velocidad, etc., requieren, para conocer su efecto, no sólo su valor numérico (con su unidad), sino también, la dirección (orientación en el espacio) y el sentido (hacia delante o hacia atrás) en los que se manifiesta su acción. Gráficamente se representan mediante vectores, que son segmentos orientados (con una punta de flecha en uno de sus extremos). Como símbolo se suelen usar letras latinas o griegas con una pequeña flecha encima ( , ).

Magnitudes vectoriales
Características de un vector: Origen o punto de aplicación: es el punto donde comienza el vector, en este caso, el punto A. Extremo: es el punto donde termina el vector (la punta de la flecha), en este caso, B. Módulo: es la longitud del vector. Dirección: es la dirección de la recta donde se encuentra y la de todas sus paralelas. Sentido: es el indicado por la punta de la flecha.

Pregunta: ¿En qué dirección se mueve? ¿Lo hace más rápido o más lento que antes? Se moverá hacia la derecha más rápido que antes, porque al tener la dos fuerzas la misma dirección y sentido su efecto se suma: la fuerza resultante será de 50 N. 20 N 30 N Observa que al dibujar los vectores, el tamaño de las flechas debe ser proporcional a su módulo.

Pregunta: Y ahora, ¿En qué dirección se mueve? ¿Lo hace más rápido o más lento que antes? 20 N 30 N Se moverá hacia la izquierda, más lento que antes, ya que al tener la misma dirección pero sentido contrario su efecto se resta. La fuerza resultante será de 10 N, hacia la izquierda.

Pregunta: Y ahora, ¿Qué ocurrirá? 20 N 20 N La caja no se moverá. Porque, las dos fuerzas son iguales y de sentido contrario y se anulan.

Pregunta: Y ahora, ¿Qué ocurrirá? 20 N 20 N La caja girará. Porque, aunque las dos fuerzas son iguales y de sentido contrario están aplicadas en puntos diferentes y no se anulan. A esto se le llama un par de fuerzas.

Pregunta: Y ahora, ¿Qué ocurrirá? La caja se desplazará oblicuamente. 30 N Para conocer la dirección exacta de la fuerza resultante, se aplica la Regla del Paralelogramo. 20 N Consiste en dibujar unas líneas paralelas a cada vector que pase por los extremos de ellos. El lugar donde se crucen las líneas será el extremo del vector resultante.

Las variables El estudio en profundidad de un fenómeno requiere en primer lugar la determinación de todos los factores que intervienen en él. Variable: es una magnitud física que interviene en un experimento y cuyo valor puede variar a lo largo de él. Hay tres tipos:

Las variables Hay tres tipos
Variable controlada es la que permanece fija durante el experimento. Variable independiente es la que el investigador va modificando. Variable dependiente es la que el investigador observa como varía al modificar la variable independiente. Variable independiente: nº de gotas Variable dependiente: altura del agua

Las variables Ejemplo: En esta experiencia se mide la altura que alcanza el agua dentro del frasco a medida que van cayendo las gotas. Las variables serán: Variable independiente: nº de gotas Variable dependiente: altura del agua

Precio de las pizzas Las variables 5 € 10 € 15 €
Variable independiente: tamaño de la pizza Variable dependiente: precio de la pizza

Las variables Variable independiente: nº de trabajadores Variable dependiente: tiempo de recogida

Las variables Nº gotas 10 20 30 40 50 Altura (cm) 60 80 100
Como consecuencia de las mediciones, el científico se encuentra con un gran número de datos que debe analizar para ver si están relacionados o no, captar su significado y deducir consecuencias. Para que su estudio resulte más fácil y comprensible, los datos se organizan, en cuadros, tablas y, si los resultados de un experimento son numéricos, en forma de gráficas. Nº gotas 10 20 30 40 50 Altura (cm) 60 80 100

Representación de gráficas
Para representar los datos de una tabla de valores se suele utilizar un sistema de referencia cartesiano, llamado así en honor de René Descartes (matemático francés del siglo XVII). X Consta de dos rectas perpendiculares llamadas ejes de coordenadas, que se cortan en un punto que se llama, origen, O. Y

El eje horizontal se llama eje de abscisas (o eje X) y en él se suele representar la variable independiente.. El eje vertical se llama eje de ordenadas (o eje Y) y en él se suele representar la variable dependiente. X Y

Una vez elegida cuál es la escala de cada eje, cada punto del plano puede "nombrarse" mediante dos números, llamados componentes o coordenadas, que se escriben encerrados entre paréntesis y separados por una coma (x , y). El primer número se llama abscisa y es la distancia de ese punto al eje Y. El segundo número se llama ordenada y es la distancia del punto al eje X. Abscisa (x) Ordenada (y)

Por convenio se considera que: El signo negativo para la coordenada x se utiliza si el punto se encuentra a la izquierda del origen. El signo negativo y para la coordenada y se utiliza cuando está por debajo del origen.

Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro partes que se llaman cuadrantes. Segundo cuadrante Primer cuadrante Tercer cuadrante Cuarto cuadrante

Pregunta:¿Cuáles son las coordenadas de los siguientes puntos? A (15,10) C (5,-5) (15,-5) B D (-10,-10)

1.- Situación de los ejes de coordenadas. Los ejes deben situarse a 1 ó 2 cm del margen blanco del papel de manera que la superficie comprendida entre los ejes y el límite sirva para numerar y asignar nombre a los ejes. La variable independiente se representa en el eje de abscisas (X) y la variable dependiente en el eje de ordenadas (Y).

1.- Situación de los ejes de coordenadas. En el primer ejemplo las variables dependiente e independiente sólo toman valores positivos. En el segundo, la variable independiente sólo toma valores positivos y la independiente valores positivos y negativos. En el tercer ejemplo las dos variables toman valores positivos y negativos.

2.- Determinación de la escala. La escala se escoge de manera que un cuadro equivalga a 1, 2, 5, 10, 20, … unidades. No deben utilizarse 3, 7, 9, etc. porque complicaría la interpretación posterior de la gráfica. También hay que tener en cuenta que la gráfica resultante no esté confinada en un área pequeña. Correcto Incorrecto

3.- Numeración de los ejes de coordenadas. Según la escala elegida se ponen marcas a lo largo de cada eje y se pone, al final del eje, el símbolo de la magnitud y su unidad correspondiente.

3.- Numeración de los ejes de coordenadas. No se señala cada cuadro. Sólo se marcan cada 2, 5 ó 10 cuadros. Incorrecto Correcto

3.- Numeración de los ejes de coordenadas. Masa (g) 1’9 3’9 9’7 11’7 15 Volumen (cm3) 0’25 0’5 1’20 1’5 2 Los ejes se numeran de modo que cada variable comience cerca de los valores mínimos representados. No es imprescindible que la gráfica contenga el punto (0,0), aunque sí es recomendable, siempre que sea posible.

4.- Localización de los puntos representativos de los datos. Los puntos se localizan en el papel usando pequeños puntos o bien líneas horizontales y verticales, de unos 2 mm de longitud y de trazo lo más fino posible, en forma de signo +.

5.- Ajuste de la curva con los puntos obtenidos. Las gráficas nunca se dibujan uniendo todos los puntos obtenidos experimentalmente, sino que se deben dibujar suavizando la línea, es decir, haciendo que se aproxime a todos los puntos posibles. Si uno o dos puntos están fuera de la trayectoria de la gráfica de manera notable, se ignoran.

5.- Ajuste de la curva con los puntos obtenidos. Cuando se traza más de una curva hay que diferenciarlas entre sí usando diferentes símbolos: líneas punteadas o interrumpidas o tinta de diferentes colores.

Ejercicio 1: Representa en papel milimetrado la tabla de valores. Nº gotas 10 20 30 40 50 Altura (cm) 60 80 100 ¿Cuál es la variable independiente? El nº de gotas. ¿Cuál será la escala aconsejable? De 0 a 50, dividida de 10 en 10. ¿Cuál es la variable dependiente? La altura del agua. ¿Cuál será la escala aconsejable? De 0 a 100, dividida de 20 en 20.

Nº gotas 10 20 30 40 50 Altura (cm) 60 80 100

Ejercicio 2: Se ha medido la altura máxima, h alcanzada por un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba con una cierta velocidad, v, obteniéndose una tabla de valores que hay que analizar: v (m/s) 10 20 30 40 50 h (m) 5 44 82 128 ¿Cuál es la variable independiente? La velocidad de lanzamiento ¿Cuál será la escala aconsejable? De 0 a 50, dividida de 10 en 10. ¿Cuál es la variable dependiente? La altura que alcanza el cuerpo. ¿Cuál será la escala aconsejable? De 0 a 130, dividida de 20 en 20 o de 10 en 10.

Ejercicio 3: Se mide, a temperatura constante, cómo varía la presión, de una determinada cantidad de gas contenido dentro de un pistón, al variar el volumen y se obtiene la siguiente tabla de valores. Haz la representación gráfica: p (atm) 1 2 4 5 8 10 20 40 V (l) 2'5 0'5 ¿Cuál es la variable independiente? El volumen del gas ¿Cuál será la escala aconsejable? De 0 a 20, dividida de 5 en 5, o de 2 en 2. ¿Cuál es la variable dependiente? La presión del gas ¿Cuál será la escala aconsejable? De 0 a 40, dividida de 5 en 5 o de 10 en 10.

Interpretación de gráficas
Ejercicio 4: La gráfica muestra las temperaturas a lo largo de un día en un pueblo de Valladolid. En el eje horizontal hemos representado el tiempo (h) y en el eje vertical, las temperaturas (ºC).

¿Qué temperatura hizo a las 0 horas? ¿Y a las 10 horas? 2 ºC, 0 ºC

¿A qué hora había 0º? 0’75 h y a las 10 h

¿A qué hora se alcanzó la temperatura máxima del día? ¿Cuál fue esa temperatura? 16 h 7 ºC

¿A qué hora se alcanzo la temperatura mínima del día? ¿Cuál fue esa temperatura? De 4 a 6 h - 5 ºC

¿En que periodo del día subió la temperatura? ¿En qué periodo bajó? ¿En qué periodos se mantuvo constante? De 6 a 16 h De 0 a 4 h y de 16 a 24 h De 4 a 6 h

¿En qué período del día hubo una temperatura por debajo de 0º? De 0’75 h a 10 h

Tiempo (h) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 Temperatura (ºC) 2 -3 -5 -5 -3 5 6 7 5 4 3 1

Ejercicio 5: Relaciona cada punto de la gráfica con la persona correspondiente. 1 - Daniel 2 - Alicia 3 - Lola 4 - María 5 - Carlos 6 - Pili 7 - Javi

Ejercicio 6: Relaciona cada punto de la gráfica con el dibujo correspondiente. 1 – A 2 – D 3 – C 4 - 5 – B

Ejercicio 7: La gráfica representa el perfil de la 9ª etapa del Tour de Francia del año Se subieron seis puertos de montaña de los Alpes. a) ¿Cuántos kilómetros tiene la etapa? b) ¿En qué puntos kilométricos de la etapa presenta la gráfica un máximo y qué altitud alcanza en cada uno? c) ¿En qué puerto se alcanza la mayor altitud? d) ¿Qué puerto de montaña tiene mayor longitud? e) ¿Y en cuál hay mayor pendiente?

Las gráficas permiten determinar si existe alguna relación entre las variables estudiadas o no. Si, en la gráfica, los puntos aparecen dispersos significará que no hay relación entre las variables, si aparecen alineados significará que sí la hay. Cuando los puntos están alineados se dice que la variable dependiente es función de la variable independiente

Definición de función Pequeña Mediana Grande 5 € 10 € 15 €
Una función es una ley que relaciona dos variables de forma unívoca, es decir, que a cada valor de la variable independiente le hace corresponder un valor y sólo uno de la variable dependiente. Ejemplo: El precio de la pizza es función del tamaño. Cada tamaño de pizza tiene un único precio.

Precio pizza = f(tamaño pizza)
Definición de función Pequeña Mediana Grande 5 € 10 € 15 € En Matemáticas esto se representa con la expresión: y = f(x) donde x representa la variable independiente e y la variable dependiente. Precio pizza = f(tamaño pizza) (¡Atención: podría haber más de una variable independiente!).

Formas de representar una función
Una gráfica. Una tabla de valores. Tamaño pizza (cm) 20 40 60 Precio (€) 5 10 15 Una frase que exprese la relación entre ambas variables. El precio de la pizza aumenta al aumentar el tamaño de ésta. Una expresión matemática del tipo: y = f(x). Precio pizza = 0’25 . tamaño pizza

Tipos de funciones Polinómicas Funciones algebraicas Racionales
Son las que pueden expresarse mediante un número finito de operaciones (+, - , · , : , ) y que contienen potencias (xn) Irracionales Exponenciales Funciones trascendentes Logarítmicas Son todas las demás. Trigonométricas

Función constante Su expresión analítica es: y = K
siendo K un número real cualquiera. La gráfica de este tipo de funciones es una línea recta horizontal. Sea cual sea el valor de x, la función siempre toma el valor K, por tanto, y no depende del valor que tome x. Un ejemplo de función constante sería una tarifa telefónica plana, en la que el precio mensual es siempre el mismo independientemente del número de llamadas que se haga.

Ejercicios de Funciones
a) Representa gráficamente la función y = 3. b) ¿Qué tipo de función es? ¿Por qué? c) ¿Qué tipo de proporcionalidad o dependencia hay entre las variables x e y? x y 1 2 3 3 3 3 b) Se trata de una función constante, porque la gráfica es una línea recta horizontal. c) No hay . Y no depende de x.

a) ¿Qué tipo de función está representada? ¿Por qué? b) ¿Qué tipo de proporcionalidad o dependencia hay entre las variables x e y? c) ¿Cuál es la ecuación general que corresponde a esta gráfica? d) ¿Cuál es la ecuación particular? a) Función constante. Porque la gráfica es una línea recta horizontal. b) No hay. y no depende de x. c) y = k d) y = 40

Función afín Su expresión analítica es: y = m · x + b
La gráfica de este tipo de función es una línea recta, por eso se dice que y depende linealmente de x. (Dependencia lineal) Un ejemplo de función afín es una tarifa telefónica normal. La mensualidad es suma de una cantidad fija (mantenimiento de línea) y de otra cantidad que depende del número de llamadas.

Función afín y = m x + b b, la ordenada en el origen, es el valor que toma la función cuando x es igual a cero. En la gráfica es el punto donde la línea corta al eje y. m, la pendiente, es una medida de la inclinación de la recta. Se calcula: x2 m x1 y2 y1 b

Función afín Para hacer la representación gráfica a partir de la función, se hace una tabla de valores (con dos puntos es suficiente para dibujar una recta). Para averiguar la función a partir de una tabla de valores se utiliza la ecuación: .

Representa gráficamente la siguiente función: y = - 2 · x + 1 b) ¿Qué tipo de función es? ¿Por qué? c) ¿Qué tipo de proporcionalidad o dependencia hay entre las variables x e y? Primero, hay que hacer una tabla de valores: x y 1 2 1 A continuación se hace la representación gráfica. -1 -3 b) Es una función afín, porque la gráfica es una línea recta que no pasa por el origen. c) Hay una dependencia lineal entre las variables.

a) ¿Qué tipo de función se corresponde con esta gráfica? ¿Por qué? b) ¿Qué tipo de dependencia hay entre las variables c) ¿Cuál es su ecuación general? d) ¿Cuál es su ecuación particular? a) Es una función afín porque la gráfica es una línea recta que no pasa por el origen. b) Entre las variables hay una dependencia lineal. c) Su ecuación general es: y = m x + b

d) ¿Cuál es su ecuación particular? su ecuación general es: y = m x + b ¿Cuánto vale b? b = 1 ¿Cuánto vale m? Para calcular m, se cogen dos puntos, por ejemplo: (2,5) y (4,9) Y = 2 x + 1

Otra forma de calcular la ecuación consiste en escoger dos puntos cualesquiera de la gráfica y sustituir sus coordenadas en la ecuación: por ejemplo: (2,5) y (4,9) y – 5 = 2 ( x – 2) y – 5 = 2x – 4 y = 2 x + 1 y = 2x – 4 + 5

Función lineal Es un caso particular de la función afín, para b = 0:
Su expresión analítica es: y = m · x La gráfica de este tipo de función es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. En este caso, la dependencia es directamente proporcional. b = 0 Para hacer la representación gráfica a partir de la función, se hace una tabla de valores (una de las coordenadas es el punto (0,0) por lo que solo hace falta otro punto para dibujar la recta).

Precio pizza = f(tamaño pizza)
Función lineal Precio de las pizzas 5 € 10 € 15 € Precio pizza = f(tamaño pizza) Se trata de una función lineal, porque para tamaño 0 el precio es 0 €.

a) ¿Qué tipo de función relaciona la altura del agua con el número de gotas, correspondiente a la tabla de valores del ejercicio 1? ¿Por qué? Nº gotas 10 20 30 40 50 Altura (cm) 60 80 100 b) ¿Qué tipo de dependencia hay entre las variables c) ¿Cuál es su ecuación general? d) ¿Cuál es su ecuación particular? a) Se trata de una función lineal ya que la gráfica es una recta que pasa por el origen.

b) La altura es directamente proporcional al número de gotas. c) Su ecuación general: y = m · x d) La ecuación particular: puntos: (0,0) y (10,20) y = 2 x

Función cuadrática La expresión analítica: y = ax2 + bx + c
La gráfica de este tipo de funciones es una curva denominada parábola. Cuando una función es de este tipo se dice que la y depende cuadráticamente de la x. Un ejemplo de función cuadrática es el espacio que recorre, un cuerpo en caída libre, con el tiempo: e = 4'9 · t2 Para hacer la representación gráfica a partir de la función, se hace una tabla de valores, pero es interesante calcular las coordenadas del vértice.

Función cuadrática Para calcular el vértice de una parábola se utiliza la fórmula: A continuación se sustituye el valor de x en la función para obtener el valor de la coordenada y.

Representa gráficamente la siguiente función: y = 1x2 + 2x – 5. b) ¿Qué tipo de función es? ¿Por qué? c) ¿Qué tipo de proporcionalidad o dependencia hay entre las variables x e y? Coordenadas del vértice: x y -3 -2 -5 -1 -6 1 2 3 10 4 19 y = 1·(-1)2 + 2·(-1) – 5 = -6

Representa gráficamente la siguiente función: y = 1x2 + 2x – 5. Coordenadas del vértice: x y -3 -2 -5 -1 -6 1 2 3 10 4 19 y = 1·(-1)2 + 2·(-1) – 5 = -6

b) ¿Qué tipo de función es? ¿Por qué? c) ¿Qué tipo de proporcionalidad o dependencia hay entre las variables x e y? b) Es una función cuadrática porque la gráfica es una parábola. c) Dependencia cuadrática.

a) ¿Qué tipo de función relaciona la altura máxima, h alcanzada por un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba con una cierta velocidad, v, correspondiente a la tabla de valores del ejercicio 2? v (m/s) 10 20 30 40 50 h (m) 5 44 82 128 b) ¿Qué tipo de dependencia hay entre las variables? c) ¿Cuál es su ecuación general?

Como la gráfica es una parábola la altura alcanzada por el cuerpo es función cuadrática de la velocidad de lanzamiento. b) Dependencia cuadrática. c) Su ecuación general: y = ax2 + bx + c

Función inversa La expresión analítica:
donde k es un número cualquiera distinto de cero. La gráfica de este tipo de funciones es una curva denominada hipérbola equilátera. Cuando una gráfica es de este tipo se dice que y es inversamente proporcional a x. Para hacer la representación gráfica a partir de la función, se hace una tabla de valores.

Función inversa Tiempo de recogida = f (nº trabajadores)
Ejemplo de función inversa

a) Representa gráficamente la siguiente función: b) ¿Qué tipo de función es? ¿Por qué? c) ¿Qué tipo de proporcionalidad o dependencia hay entre las variables x e y? x y 1 2 4 5 10 20 20 10 5 4 2 1

b) Función inversa porque la gráfica es una hipérbola. c) x e y son inversamente proporcionales

¿Qué tipo de función relaciona el volumen, V, y la presión, p, de una determinada cantidad de gas, correspondiente a la tabla de valores del ejercicio 3? p (atm) 1 2 4 5 8 10 20 40 V (l) 2'5 0'5 b) ¿Qué tipo de dependencia hay entre las variables? c) ¿Cuál es su ecuación general?

a) Como la gráfica es una hipérbola, la presión, es función inversa del volumen, b) Son inversamente proporcionales. c) Ecuación general: y = k = 2 · 10 = 20 atm/l Es decir: y = La ecuación de la función es: p = o también: p · V = 20

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