TRIGONOMETRÍA

ETIMOLOGÍA Trigonometría viene de Tri-gonos = tres ángulos = triángulo y de metros = medir Es decir, significa medida de ángulos DEFINICIÓN La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos.

MEDIDAS DE ÁNGULOS: SISTEMA SEXAGESIMAL SISTEMA CENTESIMAL RADIANES

SISTEMA SEXAGESIMAL La circunferencia se divide en 360 partes iguales. Cada una de ellas es un grado sexagesimal. Cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. En la calculadora aparece con la denominación DEG Notación: 30 grados, 40 minutos y 15 segundos = 30º 40’ 15’’

RADIANES Un radián es la medida del ángulo central cuyo arco mide lo mismo que el radio de la circunferencia Una circunferencia mide 2p radios y como cada radio da lugar a un radián: 360º equivalen a 2p radianes ¿A cuantos grados sexagesimales equivale un radián? 360º ___________ 2p rad x = 360º/2p = 57,29º xº ___________ 1 rad

SISTEMA CENTESIMAL Cada cuadrante se divide en 100 partes. En la calculadora aparece con la denominación GRA. Actualmente apenas se utiliza.

p/3 p/6 De la misma manera, los siguientes ángulos son equivalentes : 180º ________ p rad 90º ________ p/2 rad 30º ________ p/6 rad 60º ______ 2p/6 =p/3 rad p/3 p/6

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS En un triángulo rectángulo definimos las siguientes razones trigonométricas del ángulo agudo a:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Así mismo definimos las razones trigonométricas recíprocas:

Construimos triángulos rectángulos semejantes que contengan al ángulo a. Según el Teorema de Thales sus lados son proporcionales, por lo que: Las razones trigonométricas de un ángulo son independientes del triángulo en el que se calculen. Diremos que las razones trigonométricas son propias de cada ángulo, lo califican y lo diferencian de los demás ángulos.

Circunferencia goniométrica De todos los triángulos rectángulos semejantes, elegimos el de hipotenusa la unidad. De esta manera, el seno y el coseno se identifican con la longitud de los catetos: R = 1

IGUALDADES TRIGONOMÉTRICAS Aplicando Pitágoras en el triángulo rectángulo de hipotenusa la unidad: sen2a + cos2a = 1 Dividiendo ambos miembros entre sen2a: 1 + cotg2a = cosec2 a Y dividiendo entre cos2a: tg2a + 1 = sec2a Como consecuencia de la primera igualdad se cumple: -1 ≤ sen a ≤ 1 -1 ≤ cos a ≤ 1

ÁNGULO DE 60º RAZONES DE LOS ÁNGULOS PRINCIPALES DEL 1er CUADRANTE Consideremos un triángulo equilátero de lado la unidad. Calculamos su altura h aplicando Pitágoras: Hallamos las razones del ángulo de 60º en el triángulo rectángulo de la izquierda:

ÁNGULO DE 30º Consideramos el mismo triángulo rectángulo que para el ángulo de 60º ya que su complementario es el de 30º:

ÁNGULO DE 45º Consideramos un triángulo rectángulo isósceles de hipotenusa la unidad Aplicando Pitágoras: Las razones del ángulo de 45º serán:

A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0 R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto sen 90º = 1 A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0 cos 90º = 0 radio=1 1 P(x,y) O X Y a Observa que al ir disminuyendo el ángulo hasta 0º el seno va disminuyendo, hasta llegar a ser 0, mientras que el coseno va aumentando hasta valer 1. Es decir, sen 0º = 0 cos 0º = 1 sen a sen a 1 sen a sen a sen a cos a

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0º, 90º, 180º Y 270º Ángulo coseno seno tangente 0º 1 90º ∞ 180º - 1 270º -1

SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO. X Y O 1 -1 1 b B El seno y el coseno de cualquier ángulo toma valores mayores o iguales a –1 y menores o iguales a 1 -1 0 1 a A sen a sen b d D g C cos b cos a cos g cos d sen g sen d SIGNO DEL SENO SIGNO DEL COSENO _ + + + _ _ _ +

TANGENTE Y COTANGENTE DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO. X Y O 1 cotg d cotg b cotg g cotg a B b tg g A a d D g C tg a tg d _ TANGENTE Y COTANGENTE + _ tg b + La tangente y la cotangente de un ángulo puede tomar cualquier valor .

REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL 1er CUADRANTE a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS a + b = 90º b = 90º - a sen a = cos ( 90º - a ) cos a = sen ( 90º - a ) tg a = ctg ( 90º - a )

b) ÁNGULOS DEL SEGUNDO CUADRANTE b1) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS a + b = 180º b = 180º - a sen (180º - a ) = sen a cos (180º - a ) = - cos a GEOGEBRA tg (180º - a ) = - tg a HTML

b2) ÁNGULOS a y p/2 + a sen ( p/2 + a ) = cos a cos ( p/2 + a ) = - sen a tg ( p/2 + a ) = - cotg a

c) ÁNGULOS DEL TERCER CUADRANTE c1) a y 180º + a sen (180º + a ) = - sen a cos (180º + a ) = - cos a tg (180º + a ) = tg a c2) a y 270 - a sen (270º-a) = - cos a cos (270º-a) = - sen a tg (270º-a) = cotg a

d) ÁNGULOS DEL CUARTO CUADRANTE d1) a y 270 + a sen (270 + a) = - cos a cos (270 + a) = sen a tg (270 + a) = - ctg a d2) a y 360 – a o - a sen (360º - a) = - sen a cos (360º - a) = cos a tg (360º - a) = - tg a

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNCIÓN SENO FUNCIÓN COSENO FUNCIÓN TANGENTE

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO f(x)=sen x sen a

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO f(x)=sen x

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO f(x)=cos x COS a

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO f(x)=cos x

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE f(x)=tg x

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE f(x)=tg x

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS y = cos x y = sen x y = tg x