Extrapolación de Richardson Ing. Eric Sira R. El método de extrapolación de Richardson, permite construir a partir de una secuencia convergente otra secuencia más rápidamente convergente. Esta técnica se usa frecuentemente para mejorar los resultados de métodos numéricos a partir de una estimación previa, de igual forma mejora la precisión en el cálculo numérico de la derivada de una función, partiendo de la base de la serie de Taylor.
De la fórmula centrada de derivación Donde: Extrapolación de Richardson 0 ′ = 0 1ℎ 2ℎ ℎ− (− ℎ)− + ℎ− (− ℎ)− 3 0 − ℎ4− ℎ − ⋯0− ⋯ ′ 0 6 = (ℎ) − ℎ2 3= (ℎ) − ℎ2 3 0 − ℎ4− ℎ4 5 0 − ⋯− ⋯ 1 ℎ= 2ℎ 0 + ℎ− ( 0 − ℎ) (1) Sea ℎ = ℎ/2 en (1) ′ = ( ℎ ) − ℎ 2 3 − ℎ4ℎ Ing. Eric Sira R. − ⋯− ⋯ (2)
Sumando algebraicamente 4 veces la ecuación (2) y restando de la (1) Donde: Extrapolación de Richardson ′ 0 = 2 (ℎ) − ℎ − ⋯0− ⋯ 2 ℎ= ℎ= 1 ℎ2ℎ2 + 1 ℎ2ℎ2 1 − ℎ− ℎ 3 1 (ℎ) = (ℎ) Forma General: ℎ = −1 ℎ2ℎ2 −1−1 ℎ − −1 ℎ Ing. Eric Sira R. 4 −1 − 1
Extrapolación de Richardson EJEMPLO: Determinar 3 (ℎ) si = con 0 = 2 y ℎ = 0.2 1(ℎ)1(ℎ) 1 ℎ =1=1 2ℎ 0 + ℎ− ( 0 − ℎ) Ing. Eric Sira R. Cálculo de la columna de acuerdo a la expresión Paso 0 − ℎ 0 + ℎ ( 0 − ℎ ) ( 0 + ℎ ) 1 (ℎ) ℎ 0,201,802,2010,889419,855022,4140 ℎ/2 0,101,902,1012,703217,149022,2290 ℎ/ 4 0,051,952,0513,705915,924222,1830
Extrapolación de Richardson 2 ℎ= 1 ℎ2ℎ2 Cálculo de 2 (ℎ) ℎ − 1 ℎ 3 2 ℎ= 22, ,2288 − 22, ℎ = 22, ,1826 − 22, (ℎ) 2 (ℎ) ℎ 22,4142 ℎ/2 22,2288 ℎ/4 22,1826 Ing. Eric Sira R.
Extrapolación de Richardson 3 ℎ= 2 ℎ2ℎ2 Cálculo de 3 (ℎ) ℎ − 2 ℎ 15 3 ℎ3 ℎ= 22, ,1672 − 22, Finalmente, ′() ≅ =, 1 (ℎ) 2(ℎ)2(ℎ) 3 (ℎ) ℎ 22,4142 ℎ/2 22,228822,1670 ℎ/4 22,182622,1672 Ing. Eric Sira R.
TABLA DE COMPARACIÓN Extrapolación de Richardson Analíticamente, ′ = + 1 Ing. Eric Sira R. ′(2)(%)(%). í. í 22, ℎ 22, , , ,