MATEMÁTICAS I MEDIO PROGRAMA EMPRENDER PREUNIVERSITARIO ALUMNOS UC PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE MATEMÁTICAS I MEDIO Santiago, 11 de mayo del 2013

El lenguaje algebraico En ocasiones empleamos letras para representar cualquier número desconocido, realizamos operaciones aritméticas con ellas e, incluso, las incluimos en expresiones matemáticas para poder calcular su valor numérico.

El lenguaje algebraico El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos, y, además, las trata como números en operaciones y propiedades, se llama lenguaje algebraico. La parte de las Matemáticas que estudia la relación entre números, letras y signos se llama Álgebra.

El lenguaje algebraico El lenguaje algebraico es más preciso que el lenguaje numérico: podemos expresar enunciados de una forma más breve. Ej.: el conjunto de los múltiplos de 5 · n, con n un número entero.

El lenguaje algebraico El lenguaje algebraico permite expresar relaciones y propiedades numéricas de carácter general. Ej.: la propiedad conmutativa del producto se expresa a · b = b · a, donde a y b son dos números cualesquiera.

El lenguaje algebraico Con el lenguaje algebraico expresamos números desconocidos y realizamos operaciones aritméticas con ellos. Ej.: el doble de un número es seis se expresa 2 · x = 6.

Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones aritméticas. El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras por números y realizar a continuación las operaciones que se indican.

Expresiones algebraicas TÉRMINO ALGEBRAICO: Consta de: a) signo b) coeficiente numérico c) factor literal Ejemplo: 3 a4 Factor literal Coeficiente numérico

Expresiones algebraicas GRADO DE UN TÉRMINO: Es la suma de los exponentes del factor literal Ejemplo: En el término 3x3 tiene grado 3 (por el exponente de x) En el término 4x2y3 tiene grado 5 (2 + 3, la suma de los exponentes)

Expresiones algebraicas GRADO DE UNA EXPRESIÓN: Es el grado mayor de sus distintos términos. Ejemplo: En la expresión 3x3 + 5y5 tiene grado 5 (por el grado del segundo término). En el término 4x2y3 – 4b3y2z7 tiene grado 12 (por el grado del segundo término).

Expresiones algebraicas EXPRESIÓN ALGEBRAICA: Es toda combinación de números y letras ligados por los signos de las operaciones aritméticas. De acuerdo al número de términos puede ser: Monomio: tiene uno término. Ej.; 5 x2yz4; Binomio: tiene dos términos. Ej.; p + q; Trinomio: tiene tres términos. Ej.; x2 + 3x – 5 Polinomio: tiene varios términos. Ej.; 3x2 + 2x – 5y + 4z

Expresiones algebraicas TERMINOS SEMEJANTES: Los términos son semejantes cuando tienen el mismo factor literal. Los T. S. se pueden sumar o restar, sumando o restando sus coeficientes numéricos y conservando el factor literal. Ejemplo: El término 3x2y y el término 2x2y , son semejantes. (tiene factor literal iguales) y al sumarlo da 5x2y.

Expresiones algebraicas EVALUACION DE EXPRESIONES: A cada letra o FACTOR LITERAL se le asigna un determinado valor numérico. Ejemplo: Si a = 3 y b = 2, reemplazamos esos valores en la expresión: 3 a – 2b – 5a + 4b – 6a + 3b = 3  3 - 2  2 - 5  3 + 4  2 - 6  3 + 3  2 = 9 - 4 - 15 + 8 - 18 + 6 = -14

Expresiones algebraicas PRODUCTOS NOTABLES: Cuadrado del binomio: Suma por su diferencia:

Expresiones algebraicas Producto de binomios con un término repetido: Cubo del binomio: Cuadrado de un trinomio: Productos que desembocan en suma de cubos perfectos:

Potencias y raíces Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. El número que multiplicamos se llama base, el número de veces que multiplicamos la base se llama exponente. En muchas situaciones hay que multiplicar un número por sí mismo varias veces. = 2 4 base exponente 2 * 16

Potencias y raíces 2 1 / 2 -3 3 = -3 3 2 3 = 3 2 Cuando tenemos un exponente negativo hay que INVERTIR LA BASE para pasar a exponente positivo: a –n = 1 / an -3 3 2 1 / 2 = -3 3 2 3 = 3 2

Potencias y raíces Propiedades: el producto de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores : am * an = am+n 43 = 4 * 4 * 4   y   45 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4, luego 43* 45 = (4 * 4 * 4) * (4 * 4 * 4 * 4 * 4) = 48 = 43+5

(2*3)3 = (2*3) * (2*3) * (2*3) = (2*2*2) * (3*3*3) = 23 * 33 Potencias y raíces Una potencia elevada a un número es igual a otra potencia de la misma base y cuyo exponente es igual al producto del exponente de la potencia por el número al que se eleva (Potencia de potencia): La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores: (a*b)m = am * bm (2*3)3 = (2*3) * (2*3) * (2*3) = (2*2*2) * (3*3*3) = 23 * 33 La potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la del divisor : (a/b)m = am / bm (Se resuelve en forma similar al anterior). (am)n = a m* n (45 ) 3 = 45 * 45 * 45 = 45 + 5 + 5 = 4 5 * 3

Potencias y raíces am : an = am-n El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el del divisor. am : an = am-n Potencia de exponente cero, indica que todo número elevado al exponente cero es igual a la unidad: a0 = 1 45 : 43 = (4 * 4 * 4 * 4 * 4) : (4 * 4 * 4) = 42 = 45-3

Potencias y raíces Radicación: la radicación es la operación inversa de la potenciación, se representa con el símbolo Toda la expresión que se ubica dentro del símbolo de raíz es llamada cantidad subradical o radicando, y el número que se ubica arriba y a la izquierda de la raíz es llamado el índice. índice radicando Cuando el índice es 2, por lo general éste se omite

Potencias y raíces Para elevar una raíz a cualquier potencia, es la raíz del radicando elevada a dicha potencia, (es lo mismo hacer primero la raíz y luego elevar a la potencia, que primero elevar a la potencia y luego hacer la raíz.) 3 3 3 3 3 = = 3.3.3 3 3 3 3 3 =

Potencias y raíces = = 3 5 3*5 15 * 12 6 12/2 = = 2 Para multiplicar radicales del mismo índice se deja el índice y se multiplican los radicandos = = 3 5 3*5 15 * Para dividir radicales del mismo índice, se deja el índice y se dividen los radicandos. 12 6 12/2 = = 2

Potencias y raíces Para hallar el radical de un radical se multiplican los índices de ambos: 3 * 2 3 = 32 32 Una potencia de exponente fraccionario es equivalente a un radical, el numerador del exponente fraccionario es el exponente del radicando y el denominador del exponente fraccionario es el índice de la raíz. 3 1 / 3 12 12 =