SEMEJANZA U. D. 8 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

LONGITUDES U. D. 8.4 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PROBLEMA 1 Julia y María caminan juntas, llegan a un cruce de caminos rectos que forman entre sí un ángulo de 50º y cada una toma un camino. A partir de ese momento, Julia camina a 4 km/h y María a 6km/h ¿A qué distancia estará Julia de María al cabo de una hora y media? B Julia c 4 km/h 50º A distancia = Lado a 6 km/h b María C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Resolución_1 Se visualiza un triángulo no rectángulo Lado a = distancia pedida. Lado b = v.t = 6 km/h . 1,5 h = 9 km anda María Lado c = v.t = 4 km/h . 1,5 h = 6 km anda Laura Ángulo A = 50º Probamos con el Teorema del Seno, si hay dudas: a / sen A = b / sen B = c / sen C Sustituyendo los datos conocidos: a / sen 50º = 9 / sen B = 6 / sen C Vemos que no podemos extraer ninguna ecuación útil. Nos vamos al T. del Coseno. a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A , al conocer el ángulo A a2 = 92 + 62 – 2.9.6.cos 50º  a2 = 81 + 36 – 69,42  a2 = 47,58  a = 6’8977 km @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PROBLEMA 2 Dos de los lados de un paralelogramo miden 6 cm y 8 cm, y forman un ángulo de 32º. ¿Cuánto miden las diagonales? B d a 6 cm c D 32º 8 cm A b C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Resolución_2 Se visualiza un triángulo no rectángulo Lado a = d = diagonal menor. Lado b = 8 cm Lado c = 6 cm Ángulo A = 32º Nos vamos al T. del Coseno. a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A , al conocer el ángulo A a2 = 82 + 62 – 2.8.6.cos 32º  a2 = 64 + 36 – 81,41  a2 = 18,59  a = d = 4,31 cm Hallamos el ángulo suplementario de 32º A’ = 180 – 32 = 148º Y visualizamos otro triángulo no rectángulo cuyos lados son los dos lados del paralelogramo y la diagonal mayor. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Resolución_2 Se visualiza un triángulo no rectángulo Lado a = D = diagonal menor. Lado b = 8 cm Lado c = 6 cm Ángulo A = 148º Nos vamos al T. del Coseno. a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A , al conocer el ángulo A a2 = 82 + 62 – 2.8.6.cos 148º  a2 = 64 + 36 – 96.( – 0,84805)  a2 = 181,41  a = D = 13,47 cm Observamos que la diagonal mayor es mucho mayor que la menor al ser el ángulo que forman los lados algo pequeño. A su vez vemos que D < b + c, pues 13,47 < 14 Y que d > b – c , pues 4,31 > 2 Por todo ello la solución es correcta. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PROBLEMA 3 Dos circunferencias secantes tienen radios de 10 cm y 13 cm. Sus tangentes comunes forman un ángulo de 30º. Calcula la distancia entre sus centros. Radios y tangentes forman un ángulo recto. El ángulo formado por los radios será por ello el mismo que el formado por las tangentes, de 30º. d 10 13 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Resolución_3 Se visualiza un triángulo no rectángulo Lado a = d = distancia entre centros. Lado b = 10 cm Lado c = 13 cm Ángulo A = 30º Nos vamos al T. del Coseno. a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A , al conocer el ángulo A a2 = 102 + 132 – 2.10.13.cos 30º  a2 = 100 + 169 – 260.0,866  a2 = 43,84  a = d = 6,62 cm d 13 30º 10 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PROBLEMAS_4 Queremos hallar la distancia entre dos árboles, A y B, el segundo de los cuales es inaccesible. Tomando otro árbol, C, como referencia que dista del primero 42,6 m , desde los árboles A y C se dirigen visuales a B, que forman con el segmento AC ángulos BAC = 53,7º y BCA = 64º. Halla la distancia entre los árboles A y B. Resolución_4 Se visualiza el problema. Se idealiza el triángulo: A=53,7º B= ? C=64º a= ? b=42,6 m c= ? Nos piden el valor del lado c. B 53,7º A 42,6 m 64º C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Resolución_4 Resolución_4 Tenemos: A=53,7º , C=64º y b=42,6 m Como tenemos dos ángulos, hallamos el tercero: C=180 – A – B = 180 – 53,7 – 64 = 62,3º Al tener los tres ángulos podemos aplicar el Teorema del Seno: a b c ------ = ------- = ------- Sen A sen B sen C a 42,6 c ------------- = ------------ = ------------- Sen 53,7 sen 64 sen 62,3 En la segunda proporción: 42,6.sen 62,3 = c.sen 64 Despejando el lado c: c=42,6.0,8854 / 0,8988 = 41,965 m Solución: 41,965 m @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.