Apuntes 2º Bachillerato C.S. U.D. 9 * 2º BCS GRÁFICAS DE FUNCIONES @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

ELEMENTOS GRÁFICOS DE FUNCIONES U.D. 9.1 * 2º BCS ELEMENTOS GRÁFICOS DE FUNCIONES @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

ELEMENTOS DE UNA FUNCIÓN DOMINIO de f(x) y RECORRIDO de f(x): Dom f(x) = Todos los valores de x para los que existe la función. Img f(x) = Todos los valores que puede tomar f(x). CORTE CON EL EJE DE ORDENADAS y EL EJE DE ABSCISAS Para x = 0  n = f(0)  Pc(0, n). Para F(x) = 0  Ceros de la función  Pc(x1, 0), Pc(x2, 0), etc. SIGNO DE LA FUNCIÓN, de f(x) En los intervalos delimitados por los ceros de la función. MONOTONIA (CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO) de f(x). En los intervalos delimitados por los ceros de la primera derivada. MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS de f(x) Los puntos en que se anula la primera derivada. PUNTOS DE INFLEXIÓN de f(x) Los puntos en que se anula la segunda derivada, cambiando su curvatura. SIMETRÍAS de f(x) PAR si f(x) = f(-x) ; e IMPAR si f(x) = - f(-x) ASÍNTOTAS Si las hay, pueden ser verticales, horizontales u oblicuas. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. DOMINIO Y RECORRIDO DOMINIO de f(x): Todos los valores de x para los que existe la función. Se denota por Dom f(x) = ... En las funciones polinómicas el dominio es R. En las funciones racionales el dominio es R – [a, b, c, ...], siendo a, b, c, .. los puntos de asíntotas verticales. RECORRIDO de f(x): Todos los valores que puede tomar f(x). Se denota por Img f(x) = ... En las funciones lineales el recorrido es R. En las funciones cuadráticas el recorrido es (-oo, yv] ó (yv , oo), según sea convexa o cóncava. En las funciones cúbicas el recorrido es R. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. CORTES CON LOS EJES Corte con el eje OY: x = 0  y = f (0) Pc ( 0, f(0) ) Corte con el eje OX: f(x) = 0  xi = Raíces de la función f(x) Si una función presenta cortes con el eje OX en los puntos x=a, x=b, x= c, etc , se establecen zonas o regiones donde el signo de la función es el mismo: (- oo, a) , (a, b) , (b, c) , (c, ...) , …, ( k, +oo) Si una función es positiva / negativa en un punto xo c (a, b) , siendo a y b puntos de corte con el eje OX, la función será positiva / negativa en todos los puntos del intervalo ( a, b ). @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PERIODICIDAD Una función f se dice que es periódica y de periodo P si cumple estas tres condiciones: * Si x ε Dom f(x)  (x+P) ε Dom f(x) * f(x) = f(x+P) * P es el menor número real que cumple las anteriores condiciones. P P @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. MONOTONÍA Una función f es CRECIENTE en el intervalo (a, b) si para todos los pares de puntos x1, x2 c (a, b), tales que x1 < x2 , se cumple que f(x1) < f(x2) Una función f es DECRECIENTE en el intervalo (a, b) si para todos los pares de puntos x1, x2 c (a, b), tales que x1 < x2 , se cumple que f(x1) > f(x2) Una función f es CRECIENTE / DECRECIENTE en un punto xo c (a, b) si y sólo si existe un entorno simétrico de xo en el cual la función es CRECIENTE / DECRECIENTE. TEOREMA Sea f una función definida en ( a, b) y xo c (a, b). Entonces: Si f ‘ (xo) > 0 la función es estrictamente CRECIENTE en xo. Si f ‘ (xo) < 0 la función es estrictamente DECRECIENTE en xo. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. MÁXIMOS Y MÍNIMOS Una función f tiene un máximo relativo en x=xo si existe un entorno reducido de xo de forma que f(x) < f(xo) para todo x perteneciente a dicho entorno. Una función f tiene un mínimo relativo en x=xo si existe un entorno reducido de xo de forma que f(x) > f(xo) para todo x perteneciente a dicho entorno. TEOREMA Si f tiene un extremo relativo en x=xo y existe f ‘(x), entonces f ‘ (x) = 0 Sea f una función definida en (a, b) y con derivada segunda en este intervalo y sea xo c (a, b) tal que f ‘ (xo) = 0 Si f ”(xo) > 0, entonces f tiene en xo un MÍNIMO RELATIVO. Si f ”(xo) < 0, entonces f tiene en xo un MÁXIMO RELATIVO. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PUNTOS DE INFLEXIÓN Una función continua f tiene un PUNTO DE INFLEXIÓN en x= xo , si en ese punto la función cambia su curvatura, es decir si pasa de cóncava a convexa o viceversa. Si f presenta un punto de inflexión en x=xo  f “ (xo) = 0 Pero si se cumple que f “(xo) = 0, no siempre en x= xo hay un P.I. TEOREMA Dada una función f y un punto xo perteneciente a su dominio, si se verifica que f “(xo) = 0 y f ‘’‘ (xo) <> 0 , entonces f posee en x=xo un PUNTO DE INFLEXIÓN. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. ASÍNTOTAS La recta x = a es una asíntota vertical de la función f si: Lím f(x) = ± oo x a La recta y = b es una asíntota horizontal de la función f si: Lím f(x) = b x ± oo La recta y = m.x + n es una asíntota oblicua de la función f si: f(x) Lím ------ = m y Lím [ f(x) – m.x ] = n x ± oo x x± oo @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.