5. Optimización de redes. Integrantes: * Christian Cota * Cesar Rojo * Jessica Beltran * Humberto Cazares

INTRODUCCIÓN Los problemas de redes surgen en una gran variedad de situaciones como por ejemplo las redes de transporte, redes eléctricas en fin una inmensa lista que predominan en la vida diaria. La representación de redes se utiliza en áreas tan diversas como producción, distribución, localización de instalaciones en fin un sin número de áreas.

Una representación de redes nos proporciona un panorama general poderoso y una ayuda conceptual para visualizar las relaciones entre los componentes del sistema que se utiliza casi en todas las áreas científicas, sociales y económicas.

TERMINOLOGÍA Una red o grafo consiste de puntos, y líneas que conectan pares de puntos. Los puntos se llaman nodos o vértices. Las líneas de llaman arcos. Los arcos pueden tener una dirección asociada, en cuyo caso se denominan arcos dirigidos.

GRÁFICA ES UN CONJUNTO DE NODOS (N) Y ARCOS (A) QUE CONECTAN LOS NODOS. NOTAMOS G=(N,A) LOS NODOS SE NUMERAN : 1,2,...,n LOS ARCOS SE DENOTAN (i,j) indicando que une el nodo i al nodo j i j

CONCEPTOS BÁSICOS Un arco (i,j) es dirigido si conecta i con j pero no j con i. Una gráfica G=(N,A) es dirigida si sus arcos están dirigidos. En una gráfica no dirigida (i,j) y (j,i) representan el mismo arco ( no dirigido). i j

Si un arco no tiene dirección normalmente se le denomina rama Si un arco no tiene dirección normalmente se le denomina rama. Si todos los arcos en la red son dirigidos, la red se denomina una red dirigida. Si todos los arcos son no-dirigidos, la red es una red no-dirigida.

Dos nodos pueden estar conectados por un conjunto de arcos Dos nodos pueden estar conectados por un conjunto de arcos. Una trayectoria (path en inglés) es una secuencia de arcos distintos (con nodos no repetidos) conectando a los nodos. Una trayectoria dirigida desde nodo i al nodo j es una secuencia de arcos, cada uno de los cuales apunta al nodo j (si es que hay dirección). Una trayectoria no dirigida puede incluir arcos dirigidos apuntando en cualquiera de dirección.

CONCEPTOS BÁSICOS Gráfica no dirigida Gráfica dirigida 1 4 3 2 6 5 7 Nodos Arcos no dirigidos Gráfica no dirigida Gráfica dirigida Arcos dirigidos Nodos 5 2 1 7 4 6 3

Una trayectoria que comienza y que termina en el mismo nodo se denomina ciclo y puede ser ya sea dirigida o no-dirigida. Una red está conectada si existe una trayectoria no-dirigida entre cualquier par de nodos. Una red conectada que no tiene ciclos se denomina árbol.

CONCEPTOS BÁSICOS Un Camino o Ruta del nodo i al nodo j es una secuencia de arcos que unen el nodo i con el nodo j: (i,i1), (i1,i2), (i2,i3),...,(ik,j). Ruta de k arcos. Un Ciclo es un camino que une un nodo consigo mismo:(i,i1), (i1,i2), (i2,i3),...,(ik,i)

CONCEPTOS BÁSICOS 5 2 1 1 7 4 6 3 CAMINO DE 4 A 7 CICLO

CONCEPTOS BÁSICOS UNA SUBGRÁFICA G’=(N’,A’) DE UNA GRÁFICA G=(N,A) es un conjunto de nodos y arcos de G: N’ N y G’  G. UNA GRÁFICA G=(N,A) ES CONEXA si para cada par de nodos i,j  N existe un camino que conecte el nodo i con el nodo j.    SUBGRÁFICA G’: conexa        GRAFICA G: Conexa    SUBGRAFICA G: no conexa

CONCEPTOS BÁSICOS Una RED es una gráfica con uno o mas valores asignados a los nodos y/o a los arcos: Nodos: (ai)demanda, oferta, eficiencia, confiabilidad. Arcos: (cij) costo, distancia, capacidad Ejemplos: representar a través de una red : red de agua potable, red de comunicación, red logística.

Optimización de redes es un tipo especial de modelo en programación lineal. Los modelos de redes tienen tres ventajas importantes con respecto a la programación lineal.

1. Pueden resolverse muy rápidamente 1. Pueden resolverse muy rápidamente. Problemas que con programación lineal tendrían 1000 filas y 30.000 columnas pueden ser resueltos en segundos. Esto permite que los modelos de redes sean usados en muchas aplicaciones (tal como la toma de decisión en tiempo real) para lo cual la programación lineal no es lo ideal.

2. Requieren en forma natural de soluciones enteras 2. Requieren en forma natural de soluciones enteras. l reconocer que un problema puede formularse como algún modelo de red nos permitirá resolver tipos especiales de problemas de programación entera aumentando la eficiencia y reduciendo el tiempo consumido por los algoritmos clásicos de programación lineal.

3. Son intuitivos. Los modelos de redes proveen un lenguaje para tratar los problemas, mucho más intuitivo que "variables, objetivo, restricciones". Obviamente los modelos de redes no son capaces de cubrir la amplia gama de problemas que puede resolver la programación lineal. Sin embargo, ellos ocurren con suficiente frecuencia como para ser considerados como una herramienta importante para una real toma de decisiones.

Los problemas de optimización de redes se pueden representar en términos generales a través de uno de estos cuatro modelos: Modelo de la ruta más corta. Modelo de minimización de redes (Problema del árbol de mínima expansión). Modelo del flujo máximo. Modelo del flujo del costo mínimo.

GRACIAS