Formas de representación ¿Qué es una función? Tipos Funciones Generalidades Propiedades Clasificación

¿Qué es una función? Una función es una regla de asociación que relaciona el conjunto de llegada y el conjunto de salida. Esta regla no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del rango. No estamos en presencia de una función cuando: De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha. De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas. a b c d e 1 2 3 4 5 X Y

Formas de representar una función Numérica Visual Algebraica Verbal por medio de por medio de por medio de por medio de tablas diagramas y graficas fórmulas palabras E(t) son los estudiantes del colegio en el instante t. a b c d e 1 2 3 4 5 X Y Y=2x+4 x 1 2 3 4 5 … y 11 12 13 14 15…

Variable independiente Variable dependiente - Variable independiente Dominio - Rango GENERALIDADES Intercepto en el eje X - Intercepto en el eje Y Conjunto de llegada - Conjunto de salida

El otro conjunto llamado RANGO, es la gama de valores que toma la función; en el caso del plano cartesiano son todos los valores que toma la función o valores en el eje y. El DOMINIO es el conjunto de elementos formado por las pre imágenes, generalmente cuando se habla del plano cartesiano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje x, y que nos generan una asociación en el eje y.

Las VARIABLES DEPENDIENTES como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, y o f(x) es la variable dependiente ya que esta sujeta a los valores que se le subministre a x. La VARIABLE INDEPENDIENTE no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x.

El INTERCEPTO EN EL EJE Y se halla reemplazando a x por 0, y el INTERCEPTO EN EL EJE X se halla igualando la función a 0 y solucionando la ecuación resultante.

El CONJUNTO DE LLEGADA contiene los elementos que son la imagen de los valores del conjunto de salida. El CONJUNTO DE SALIDA se llama al conjunto que contiene los elementos del dominio de una función.

PROPIEDADES Función Par Función Impar Función Creciente Función Decreciente

La función 𝒚= 𝒙 𝟐 es par ya que f (-x) = (−𝒙) 𝟐 = 𝒙 𝟐 FUNCIÓN PAR Si f(x) = f (-x). Ejemplo: La función 𝒚= 𝒙 𝟐 es par pues se obtienen los mismos valores de y independientemente del signo de x. La función 𝒚= 𝒙 𝟐 es par ya que f (-x) = (−𝒙) 𝟐 = 𝒙 𝟐 Simétricas con respecto al eje Y.

FUNCIÓN IMPAR Si f(x) = -f (-x). Ejemplo: La función y(x)=x es impar ya que: f (-x) = -x pero como f(x) = x entonces: f(-x) = - f(x). Simétricas con respecto al eje de las coordenadas.

La función es creciente cuando al aumentar los valores de X, aumenta Y. FUNCIÓN CRECIENTE

La función es decreciente cuando al aumentar los valores de X, disminuye Y. FUNCIÓN DECRECIENTE

Función Sobreyectiva CLASIFICACIÓN Función Inyectiva Función Biyectiva

Una función es INYECTIVA, si en el conjunto A no hay dos o más elementos que tengan la misma imagen. b c d e 1 2 3 4 5 X Y FUNCIÓN INYECTIVA

Una función es SOBREYECTIVA, si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, bajo f. a b c d e 1 2 3 4 5 X Y FUNCIÓN INYECTIVA

Una función es BIYECTIVA, si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez. d e 1 2 3 4 5 X Y FUNCIÓN BIYECTIVA

TIPOS DE FUNCIONES Polinómica Racional Logarítmica Exponencial Valor absoluto Por partes Trigonométrica Grado impar Grado par Grado cero Lineal Cúbica Cuadrática Constante Afín Lineal Idéntica

Dominio= Conjunto de Salida= Reales Conjunto de llegada=Reales Se llama FUNCIÓN POLINÓMICA a toda aquella que está definida por medio de polinomios. Grado Nombre Expresión 0 Constante y= a 1 Lineal y= ax + b 2 Cuadrática y= ax2 + bx + c 3 Cúbica y= ax3 + bx2 + cx + d Dominio= Conjunto de Salida= Reales Conjunto de llegada=Reales

y= ax(2n) + bx(2n)-1 + cx(2n)-2 + … + dx + e FUNCIONES DE GRADO PAR Son funciones en las que el máximo grado de un término de la ecuación es un número par. y= ax(2n) + bx(2n)-1 + cx(2n)-2 + … + dx + e

y= ax(2n-1) + bx(2n-1)-1 + cx(2n-1)-2 + … + dx + e FUNCIONES DE GRADO IMPAR Son funciones en las que el mayor grado del polinomio es impar. y= ax(2n-1) + bx(2n-1)-1 + cx(2n-1)-2 + … + dx + e

LINEAL En la ecuación Y= mx + n, n indica el punto de corte con y, el desplazamiento vertical de la función. y - x son dos variables Dominio= Conjunto de Salida= Reales Rango= Reales (con excepción a la función constante). Conjunto de llegada = Reales. m es una constante que se denomina pendiente que indica el grado de inclinación de la recta y se halla mediante la ecuación: Si m > o: la función es creciente Si m < 0: la función es decreciente Si m = 0: la función es constante

LINEAL Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = mx Ejemplo: y = 2x Elementos Punto de corte con x: 0 Punto de corte con y: 0 Conjunto de salida= Reales Conjunto de llegada= Reales Dominio= Reales Rango= Reales Pendiente = 2

AFIN Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = mx + n, y tiene un desplazamiento vertical. Ejemplo: y = 2x+3 Elementos Punto de corte con x: 3 2 Punto de corte con y: 3 Conjunto de salida: Reales Conjunto de llegada: Reales Dominio: Reales Rango: Reales Pendiente: 2

AFIN Cuando m>0, n>0 la gráfica es

IDÉNTICA Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = x La pendiente es igual a 1 y no esta desplazada verticalmente A cada número del eje de abscisas le corresponde el mismo número en el eje de ordenadas, es decir, que las dos coordenadas de cada punto son idénticas . Ejemplo: y = x Elementos Punto de corte con x = 0 Punto de corte con y = 0 Conjunto de salida = Reales Conjunto de llegada = Reales Dominio = Reales Rango =Reales

CÚBICA Es una función polifónica de grado 3, cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: Ejemplo: y = 2 x³ + 4 x² + 3 x + 2 Elementos Punto de corte con x = -1.5 Punto de corte con y = 2 Conjunto de salida = Reales Conjunto de llegada = Reales Dominio = Reales Rango = Reales F(x) > 0 en x ∈ (-1.5, infinito) F(x) < 0 en x ∈ (-1.5, -infinito)

Es una función polifónica cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y= ax2+bx+c CUADRÁTICA Donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0. La parábola es forma de la función cuadrática, tiene un eje de simetría, se divide exactamente en dos, un lado es el reflejo del otro lado. En la función cuadrática c indica el punto de corte con y. Para hallar el punto de corte en x se utiliza la ecuación: X= Puede ser vertical abierta hacia arriba, con mínimo relativo; o puede ser vertical abierta hacia abajo, con un máximo relativo. El rango es desde el máximo o mínimo relativo, hasta infinito. Ejemplo: y= 2x2+5x+4 Elementos Punto de corte con y = 4 Conjunto de salida = Reales Conjunto de llegada = Reales Dominio = Reales Rango: [ −5 4 , infinito) Los mínimos o máximos relativos son los puntos más altos y más bajos donde llega la parábola, se usa la ecuación:

CONSTANTE Ejemplo: y = 2 Elementos Punto de corte con y = 2 Conjunto de salida = Reales Conjunto de llegada = Reales Dominio = Reales Rango = {a} Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = a, donde a pertenece a los números reales. No depende de ninguna variable CONSTANTE

VALOR ABSOLUTO La función de valor absoluto se define por la ecuación: PROPIEDADES No negatividad Definición positiva Propiedad multiplicativa: |ab| = |a||b| Propiedad aditiva: |a + b| ≤ |a|+|b| Simetría: |-a| = |a| Identidad de indiscernibles : |a-b|= 0 a=b Desigualdad triangular: |a-b| ≥ |a-c|+ |c-b| El valor absoluto de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta si su signo es positivo o negativo, ya que nunca será negativo. Rango= (mínimo, ∞) o ( - ∞, máximo) Ejemplo: y= IxI Elementos Punto de corte con y = no hay Punto de corte con x= no existe Conjunto de salida = Reales Conjunto de llegada = Reales Dominio = Reales Rango = (0, ∞)

VALOR ABSOLUTO Para un desplazamiento horizontal: Ejemplo: y= Ix + 5I Dominio= Reales Conjunto de salida= Reales Rango= (0, ∞) Conjunto de llegada= Reales Punto de corte con x= No existe Punto de corte con y= 5 Desplazamiento horizontal= 5 Para un desplazamiento vertical: Ejemplo: y= IxI + 2 Dominio= Reales Conjunto de salida= Reales Rango= (2, ∞) Conjunto de llegada= Reales Punto de corte con x= No existe Punto de corte con y= 2 Desplazamiento vertical = 2

RACIONAL La función racional está definida por una expresión algebraica que es el cociente de dos polinomios: La variable X no puede tomar el valor que hace cero al denominador, por eso, el dominio de Y es el conjunto de todos los números reales excepto los ceros de Q. Las asíntotas de una función, son líneas a la que la grafica de la función se aproxima cada vez mas cuando se va a lo largo de esta línea, más nunca la toca.. HORIZONTALES VERTICALES Se hallan por medio de la ecuación: 1) Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal. 2) Para m = n, la recta y = am/bn, es una asíntota horizontal. 3) Para m > n, no hay asíntotas horizontales. Es el valor que no pertenece al dominio de la función, pero tampoco la anula. Se hallan igualando el denominador a 0.

PASOS PARA SOLUCIONAR UNA FUNCIÓN RACIONAL Se factoriza el numerador y el denominador. Se hallan los puntos de corte con x: las raíces del numerador. Se halla el punto de corte con y: sustituyendo a x por 0. Se hallan las asíntotas verticales: las raíces del denominador. Se hallan las asíntotas horizontales: (cementerio) Para saber si es – o +, y luego se halla.

EXPONENCIALES La función exponencial se define por la ecuación: y= ax Cuando a<1, la función es decreciente. Cuando a>1, la función es creciente. a y x son números reales Donde a ≠ 0 y a≠1 Ejemplo: y= 2X Dominio= Reales Rango= (∞, 0) Conjunto de salida= Reales Conjunto de llegada= Reales Asíntota en y=0 Punto de corte con y= 1 Función creciente Exponencial natural desplazamiento vertical desplazamiento horizontal e=2.2

EXPONENCIALES y=ax y=ax Para a>1 Para 0<a<1 y= -ax y= -ax

LOGARÍTMICA La función logarítmica se define por la ecuación: y= loga x Solo esta definida en los números positivos. PROPIEDADES cambio de los logaritmos de una base a logaritmos de otra base por medio de la ecuacion: Desplazamiento vertical Desplazamiento horizontal

LOGARÍTMICA Conjunto de salida=Dominio=IR+ Conjunto de llegada=IR= Rango Asíntota en x=0 Función creciente

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (periódicas)

FUNCION SENO Conjunto de salida = Dominio = IR Conjunto de llegada = IR Rango = [-1;1] Función periódica sin discontinuidades Periodo: 2𝜋

FUNCION COSENO Conjunto de salida = Dominio = IR Conjunto de llegada = IR Rango = [-1;1] Función periódica sin discontinuidades Periodo: 2𝜋

FUNCION TANGENTE Conjunto de salida = Dominio = IR – { (2n-1) 𝜋/2} Conjunto de llegada = IR Rango = IR Periodo: 𝜋 Asíntotas verticales en x={ (2n-1) 𝜋/2}

FUNCION COTANGENTE Conjunto de salida = Dominio = IR – { n 𝜋} Conjunto de llegada = IR Rango = IR Periodo: 𝜋 Asíntotas verticales en x={ n𝜋}

FUNCION SECANTE Conjunto de salida = Dominio =IR – { (2n-1) 𝜋/2} Conjunto de llegada = IR Rango = IR - (-1;1) Periodo: 2𝜋 Asíntotas verticales en x= { (2n-1) 𝜋/2}

FUNCION COSECANTE Conjunto de salida = Dominio =IR – { n𝜋} Conjunto de llegada = IR Rango = IR - (-1;1) Periodo: 2𝜋 Asíntotas verticales en x= { n𝜋}

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS