Matemáticas 1º Bachillerato CT ECUACIONES Y SISTEMAS U.D. 4 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

U.D. 4.7 * 1º BCT ECUACIONES IRRACIONALES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Ecuaciones no algebraicas Como su nombre lo indica, estas ecuaciones involucran operaciones no algebraicas como raíces, logaritmos, exponenciales y funciones trigonométricas. Veremos ejemplos de los cuatro posibles mencionados. La resolución de este tipo de ecuaciones generalmente introduce raíces espúreas y la única forma de detectarlas es verificando que las soluciones encontradas satisfagan la ecuación. También es necesario definir el conjunto de validez de la ecuación. Ecuaciones irracionales o radicales Son las ecuaciones que involucran raíces: x + √(x – 4) = 4 En este caso el conjunto de validez es x > 4. Ecuaciones exponenciales Involucran exponentes no numéricos: 2x+1 = 32x Como ambas bases son positivas, el conjunto de validez serán todos los R. Ecuaciones logarítmicas Involucran logaritmos en su expresión: logx 16 = log2 x El conjunto de validez de esta ecuación es x > 0 y x <> 1. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

ECUACIONES CON RADICALES ECUACIONES RADICALES Son aquellas en las que aparece la incógnita en alguno de sus términos, bajo el signo radical PROCEDIMIENTO DE RESOLUCIÓN Cuando aparezcan en una ecuación algebraica una sola raíz, cuadrada o no, se dejará ésta sola a un lado de la igualdad y se elevarán ambos términos a la potencia necesaria para que desaparezca la raíz. Habrá que aplicar los productos notables y posteriormente hallar las raíces de la ecuación resultante. Si hubiera dos o más raíces cuadradas, no es necesario agruparlas todas a un sólo lado de la igualdad antes de elevar ambos términos al cuadrado. Al elevar al cuadrado ambos términos de una igualdad, pueden aparecer otras soluciones distintas de las de la ecuación original, que no valdrían. Ejemplo: x = 2  x2 = 4 es correcto  x = 2 (correcto) y x = - 2 (no valdría) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejemplo_1 √(3.x – 2) - 4 = 0 Se deja sola la raíz cuadrada: √(3.x – 2) = 4 Se elevan ambos términos al cuadrado: √(3.x – 2)2 = 42 3.x – 2 = 16 3.x = 18 x = 6 Y se comprueba el resultado obtenido: √(3.6 – 2) - 4 = 0 √(18 – 2) - 4 = 0 √16 - 4 = 0 4 – 4 = 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejemplo_2 2. √ (x +4) = √ (5.x+4) Se elevan ambos términos al cuadrado: [2. √ (x + 4) ]2 = [√ (5.x + 4) ]2 4.(x + 4) = 5.x + 4 4.x + 16 = 5.x + 4 16 – 4 = 5.x – 4.x 12 = x Y se comprueba el resultado obtenido: 2. √ (12 +4) = √ (5.12+4) 2. √ 16 = √ (60 + 4) 2. 4 = √ 64 8 = 8 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejemplo_3 √ (2.x – 1) + √ (x + 4) = 0 √ (2.x – 1) = - √ (x + 4) Se elevan ambos términos al cuadrado: √ (2x – 1)2 = [- √ (x + 4) ]2 2.x – 1 = x + 4 2.x – x = 4 + 1 x = 5 Y se comprueba el resultado obtenido: √ (2.5 – 1) + √ (5 + 4) = 0 √ (10 – 1) + √ 9 = 0 √ 9 + √ 9 = 0 3 + 3 = 0 6 = 0, lo cual es falso. La única solución no es válida. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejemplo_4 √ (2.x + 5) + √ (x + 7) = 6 Se deja una raíz a un lado (no es obligado, pero se opera mejor): √ (2.x + 5) = 6 - √ (x + 7) Se elevan ambos términos al cuadrado: √ (2x + 5)2 = [ 6 - √ (x + 7) ]2 2.x + 5 = 36 – 12. √ (x + 7) + x + 7 Se deja sola la única raíz resultante: 2.x + 5 – 36 – x – 7 = - 12 √ (x + 7) x – 38 = - 12.√ (x + 7) (x – 38)2 = [- 12.√ (x + 7)]2 x2 – 76.x + 1444 = 144.(x + 7) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT … Ejemplo_4 Se opera: x2 – 76.x + 1444 – 144.x – 1008 = 0 x2 – 220.x + 436 = 0 Se resuelve la ecuación de segundo grado resultante: 220 +/- √ (2202 – 4.1.436) 220 +/- 216 x = ---------------------------------- = ----------------- 2 2 220 +/- √ (2202 – 4.1.436) 220 +/- 216 218 x = ---------------------------------- = ----------------- = 2 2 2 Y se comprueba: x = 2  √ 9 + √ 9 = 6  3 + 3 = 6 Válida x = 218  √ 441 + √ 225 = 6  21 + 15 = 6 No es válida @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejemplo_5 4.x + 10 ------------------- = √ (2.x + 5) + √ (x + 7) √ (x + 7) Se pasa el denominador multiplicando: 4.x + 10 = √ (x + 7) .[√ (2.x + 5) + √ (x + 7)] 4.x + 10 = √ (x + 7).√ (2.x + 5) + (x + 7) 4.x + 10 – x – 7 = √ [(x + 7).(2.x + 5)] 3.x + 3 = √ (2.x2 + 19.x + 35) Se elevan ambos términos al cuadrado: (3.x + 3)2 = 2.x2 + 19.x + 35 9.x2 + 18.x + 9 = 2.x2 + 19.x + 35 7.x2 – x – 26 = 0 Y se resuelve la ecuación de segundo grado: x = [1 ± √ (1 + 728)] / 14 = [1 ± 27] / 14 = 2 y - 13/7 Se comprueba que x = 2 es válida, pero x = -13/7 no lo es. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejemplo_6 √ [1 + √(x + 5) ] = √ (3.x – 8) Se elevan ambos términos al cuadrado: 1 + √(x + 5) = (3.x – 8) Se deja solo el radical: √(x + 5) = 3.x – 9 x + 5 = 9.x2 – 54.x + 81 9.x2 – 55.x + 76 = 0 Y se resuelve la ecuación de segundo grado: x = [55 ± √ (3025 – 2736)] / 18 = [55 ± 17] / 18 = 19/9 y 4 Se comprueba que x = 4 es válida, pero x = 19/9 no lo es. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT