Cálculo deductivo en lóxica proposicional

Que é unha dedución? Vexamos un xogo de lóxica Roubouse un importante botín. O criminal (ou criminais) deuse á fuga nun coche. A policía decide interrogar a tres sospeitosos, Alberto, Bernardo e Carlos, e consegue determinar os feitos seguintes:

No roubo non está implicada ningunha outra persoa agás A, B ou C. C nunca traballa sen levar á A (e é posible que outros) como cómplice. B non sabe conducir. É ALBERTO CULPABLE OU INOCENTE? En xogos como este queremos deducir a información que se pide a partir da información dada. Neste caso a información que se pide é determinar se A é culpable.

Vexamos un modo típico de razoar para intentar resolver o xogo: “Supoñamos que A é inocente” Dado que C nunca traballa sen A, se A é inocente, C debe ser tamén inocente. Dado que o criminal fuxiu en coche e que B non sabe conducir, B non puido cometer o roubo só: tivo que ir coa ou con C. Así que se A e C son inocentes, B tamén é inocente. Así que se A é inocente, tamén o son B e C. Pero sabemos que polo menos un é culpable. Xa que logo, non pode ser que A sexa inocente.

Que é unha dedución? Nunha dedución progresamos a partir da información coñecida, ata alcanzar certa información descoñecida que nos interesa obter. A información coñecida actúa como as premisas dun argumento, e a descoñecida como a conclusión. O que caracteriza que unha dedución estea ben feita é que cada paso que deamos sexa seguro: cada nova información debe seguirse das anteriores.

Que é unha dedución: Regras É posible captar por medio de regras os pasos máis típicos que efectuamos cando levamos a cabo unha dedución. Se unha regra está ben elixida, conduciranos desde certo enunciado E a outro E’ que é consecuencia lóxica de E. O proceso polo que pasamos de E a E’ é unha inferencia lóxica e a regra que dá conta de devandito paso é unha regra de inferencia.

Que é unha dedución: Regras Hai regras que intentan captar o “modo natural” de proceder cando razoamos. Ao sistema que se basea en tales regras chamámolo cálculo de dedución natural. A idea é recoller e sistematizar as regras informais que aplicamos, por exemplo, en razoamentos como o do xogo. Unha vez formuladas de xeito abstracto, poderemos tamén aplicar as regras ás nosas fórmulas de L0, de maneira que podamos saber como obter unhas fórmulas a partir doutras.

Regras de inferencia primitivas Imos ver un conxunto de regras de inferencia básicas ou primitivas para a dedución natural. Para cada conector, imos definir dúas regras, unha de introdución do conector, e outra para a súa eliminación. Presentarémolas primeiro de xeito informal, para caracterizalas logo de modo máis formal.

Introdución do Conxuntor: I  Premisas: O asasino é zurdo O asasino calza un 45 Conclusión: O asasino é zurdo E calza un 45.   ________    p ¬(r  q) ________ p  ¬(r  q) q  p ¬r  q ________ (q  p)  (¬r  q)

Eliminación do Conxuntor: E  Premisa: O asasino é miope e usa lentes Conclusión: ou ben: 2’. O asasino usa lentes 2. O asasino é miope

Eliminación do Conxuntor: E        ________ ________   r  (p  ¬q) r  (p  ¬q) ________ ________ r p  ¬q

Non é o caso que o asasino no fume en pipa Doble Negación: D ¬¬ Premisa: Non é o caso que o asasino no fume en pipa Conclusión: 2. O asasino fuma en pipa Premisa: O asasino ten bigote Conclusión: 2. Non é o caso que o asasino non teña bigote

Doble Negación: D ¬¬ ¬¬   _____ _____  ¬¬  ¡COIDADO! ¬(¬r  q) _____ r  q  ¬¬ (r  q) r  q _____ _____ r  q ¬¬ (r  q)

Introdución do Disxuntor: I  Premisa: O asasino mide 1,90m Conclusión: 2. O asasino mide 1,90m ou veranea en Cancún 2’. O asasino veranea en Cancún ou mide 1,90m

Introdución do Disxuntor: I   _____     _____    p _____ p  r p  ¬q _____ (r  t)  (p  ¬q)

Eliminación do Disxuntor: E  (tamén Proba por Casos ou Dilema) Premisas: O asasino fuxiu en coche ou en moto Se fuxiu en coche, escóndese en Vigo Se fuxiu en moto, escóndese en Vigo Conclusión: 4. O asasino escóndese en Vigo

Eliminación do Disxuntor: E  (tamén Proba por Casos ou Dilema)          ______  r  ¬q r  (s  t) ¬q  (s  t) ______ s  t p  (r  q) p  ¬q (r  q)  ¬q ______ ¬q

Eliminación do Condicional: E  ou Modus Ponens: MP Premisas: Se Otero é culpable, a tía encóbrelle Otero é culpable Conclusión: 3. A tía encobre a Otero

Eliminación do Condicional: E  ou Modus Ponens: MP (p  q)  ¬s p  q ______ ¬s     ______  ¬(p  (¬r  q))  (s  ¬q) ¬(p  (¬r  q)) ______ s  ¬q

Premisas e supostos As premisas corresponden á información que nos vén dada de antemán (os datos do problema ou as fórmulas iniciais) . Ás veces temos que introducir información hipotética para botar a andar un razoamento: a isto que introducimos chamámolo suposto. Equivale ás ocasións en que razoamos comezando “Supoñamos que...” Hai 2 regras de inferencia que se basean no emprego de supostos:

Redución ao Absurdo: RA Suposto: (Supoñamos que) o asasino non fuxiu a Vigo   ...bla bla bla... (cadea de inferencias válidas)  Otero é mecánico e non é mecánico. Conclusión: 1. O asasino fuxiu a Vigo

Redución ao Absurdo: RA Na RA comezamos por introducir un suposto, (que corresponde á negación daquilo que intentamos concluír). Para sinalar que se trata dun suposto e non dunha premisa, usamos o símbolo  (abrir hipótese) A continuación seguimos a dedución aplicando as regras de inferencia que sexa conveniente. Se alcanzamos unha contradición, significa que o noso suposto inicial era erróneo. Ao chegar á contradición, pechamos a cadea de inferencias co símbolo  (cancelar hipótese). A conclusión será a negación do suposto.

Redución ao Absurdo: RA demóstrese p desde (¬p  q) e ¬q 1. ¬p  q Premisa 2. ¬q Premisa 3. ¬p (hipótese)  4. ¬p  q E  1  5. q MP 3, 4 6. q  ¬q I  2, 5 7. ¬¬p RA 3-6 8. p D 7   ...   ¬  __________ ¬ 

Introdución do Condicional: I  (tamén Teorema de Dedución) Suposto: (supoñamos que) A vítima foi envelenada ... bla bla bla ... (cadea de inferencias válidas)  O asasino é o marqués de Torino Conclusión: Se a vítima foi envelenada, o asasino é o marqués de Torino

Introdución do Condicional: I  (tamén Teorema de Dedución) Aquí tamén introducimos un suposto. Seguimos coa dedución aplicando as regras que sexa conveniente e chegamos a determinado enunciado. A nosa conclusión NON É ESTE ENUNCIADO. A conclusión é un condicional, que ten como antecedente o suposto que introducimos e como consecuente o enunciado que obtivemos a partir dese suposto, aplicando regras de inferencia

Introdución do Condicional: I  (tamén Teorema de Dedución) Demóstrese (¬q  ¬r) desde ¬q  (p  ¬r) 1. ¬q  (p  ¬r) Premisa 2. ¬q (hipótese)  3. p  ¬r MP 1, 2  4. ¬r E  3 5. ¬q  ¬r I  2-4   ...  __________   

Derivación e dedución Normalmente interésanos saber se unha fórmula  pódese obter desde outras 1 ... n. Nese caso o que temos que construír é unha derivación desde 1 ... n. ata , de maneira que en cada paso da derivación apliquemos unha regra de inferencia. Se conseguimos obter , diremos que deducimos  de 1 ... n

Procedemento de dedución Determínase cales son as premisas e escríbese cada premisa nunha liña numerada, comezando polo 1 Determínase cal é a conclusión, e déixase separadamente, marcada co símbolo | . Isto é o que queremos demostrar. Aplícanse regras de inferencia sobre as premisas e vanse derivando novas liñas, que se van numerando. A dedución termina cando chegamos a unha liña, fóra de toda barra de hipótese (da RA ou a I ) que contén o que queremos demostrar.

Exemplo de dedución Continúa Demostrar r  s desde {q  r, p  s, q  p} q  r Pr p  s Pr Colocamos as premisas numeradas q  p Pr 4. q hip 5. r MP 1, 4 … Xunto a cada liña escribimos a regra empregada e as liñas ás que se aplicou: MP 1, 4 significa que se aplicou Modus Ponens entre 1 e 4 Continúa

Exemplo de dedución Demostrar r  s desde {q  r, p  s, q  p} q  r Pr p  s Pr q  p Pr 4. q hip 5. r MP 1, 4 6. r  s ID 5 ... Aínda que na liña 6 xa aparece o que queremos demostrar, está dentro dunha barra aberta por unha hipótese, así que non nos serve como conclusión. Continúa

Exemplo de dedución Demostrar r  s desde {q  r, p  s, q  p} q  r Pr p  s Pr q  p Pr Podemos introducir todas as hipóteses que necesitemos, pero a dedución non termina ata obter o desexado fóra das barras de hipóteses. Concluimos a deducción aplicando a Eliminación da Disxunción nesas tres liñas. 4. q hip 5. r MP 1, 4 6. r  s I  5 7. p hip 8. s MP 2, 7 9. r  s I  8 12. r  s ED 3, 4-6, 7-9

Regras derivadas As regras de inferencia primitivas son suficientes para facer todas as derivacións que queremos. Pero ás veces atopámonos con secuencias de pasos que se repiten moi a miúdo e que podemos abreviar en forma de regra. Estas regras están derivadas das primitivas, no sentido de que o que elas fan podería facerse igualmente só con regras primitivas, aínda que de xeito máis longo. Do mesmo xeito que ocorre respecto ao número de conectivas, trátase de atopar un equilibrio nunha cantidade de regras que sexa manexable pero suficiente para os nosos fins.

   Se o crime foi no dormitorio, as cortinas estaban pechadas. Modus Tollens: MT    Se o crime foi no dormitorio, as cortinas estaban pechadas. ¬  As cortinas non estaban pechadas. ______ ¬ O crime non foi no dormitorio. p  q Pr ¬q Pr 3. p hip. 4. q MP 1, 3 5. q  ¬q I  2, 4 6. ¬p RA 3-5 É a recíproca do Ponens e demóstrase fácilmente coa axuda deste a Redución ao Absurdo:

 Siloxismo Disxuntivo    O asasino é manco ou ten parálise na man. ¬ O asasino non é manco. ______  O asasino ten parálise na man. 

Estas equivalencias coñécense como leis de De Morgan: As equivalencias entre conxuntor, disxuntor e condicional poden explotarse para obter regras de inferencia basadas nelas. Estas equivalencias coñécense como leis de De Morgan:     ¬(¬  ¬)  ¬(  ¬)     ¬(¬  ¬)  ¬      ¬(  ¬)  ¬       (  )  (  )

Demostración Lei De Morgan 1. ¬(p  q) Pr 2. p hip 3. p  q I  2 4. (p  q)  ¬(p  q) I  1, 3 5. ¬p RA 2-4 6. q hip 7. p  q I  6 8. (p  q)  ¬(p  q) I  1, 7 9. ¬q RA 6-8 10. ¬p  ¬q I  5, 9 ¬(  ) __________ ¬  ¬

Definición do Condicional polo Disxuntor (Lei DM): 1. p  q Pr 2. ¬ (¬p  q) hip 3. ¬¬p  ¬q Def.  por  2, Lei D M 4. ¬¬p E  3 5. p D ¬¬ 4 6. q MP 1, 5 7. ¬q E  3 8. q  ¬q I  6, 7 9. ¬p  q RA 2-8    __________ ¬  