III. de Líneas o Curvilíneas: C Definición: Si existe L = ,a este número lo llamamos : integral definida de f en [a;b] lo indicamos : O sea : = f: ²→ , definido y acotado sobre la curva C: integral de línea con respecto a la longitud de arco (ds: diferencial de arco) Integral Función integrando Dominio de integración Función escalar Función vectorial Campo escalar Campo vectorial I- intervalo II- región de R² (o R³) III- curva C de R² (o R³) IV-superficie : ²→², definido y acotado sobre la curva C: integral de línea o integral curvilínea (• producto escalar ) II. Múltiples Integrales III. de Líneas o Curvilíneas: C IV. de Superficie

 Sea  SU no

d b g(t*) P* h u* t* c a f(t*) el mismo sentido sentido opuesto

= (1+ t ; 2+ t) ; t  [0; 2] C1 : = (1; 2) = (3; 4) = (3 –u; 4 - u); u [0; 2] = (3; 4) = (1; 2) sentidos opuestos

INTEGRAL de LÍNEA  (x(t); y(t)) obtenemos CAB ; procedemos a realizar un “proceso de integración” 1ro) Subdividir el problema 1-a) Partición de CAB (dominio de integración)  dada una Partición de [a; b] P[a;b] ={a  to ; t1 ; .........¸ tn  b }  a cada ti  Pi (x (ti); y (ti))  se obtiene una: partición de C. y P2 P3 P1 B P4 Po  partición de C : PC={A  Po ; P1 ; . .....¸ Pn  B} A x t a  to t1 t2 t3 b  t4 a b

C: = (x; y) / Ci B A  P(x; y) x = x (t) t  [a; b] y = y (t) ti-1 Pi yi Ci Pi-1 yi-1 Pn B P1 ti-1 yo Po A Pi-1 xo xi-1 xi xn a to= a t1 ti-1 ti b = tn NOTA: El sentido de recorrido del parámetro siempre es el sentido creciente de t.

 / Los puntos Pi determinan ´n´ segmentos que unidos forman una “poligonal”. La longitud de esta poligonal da una “aproximación” de la longitud de C. DEF: |P|  “norma de la partición” Pi-1 yi di yi -1 Pi*(ci ; di ) 1-b) Selección de ptos compatibles con PC Pi [ti-1 ; ti ] xi-1 ci xi  Q to= a t1 ti-1 ti* ti b = tn Q ={ P1* ; .....; Pi* ; .....¸ Pn* }

Pi* yi di yi -1 Δyi xi-1 ci xi Δxi

(producto escalar)

(P) P g(t) Conclusión: P g(t) = Dada C: = ( x(t ); y(t))  P(x(t); y(t)) existe (sin demo ) P g(t) P (P) A x y a b t B Conclusión: g(t) =

x(t) y(t) . . = . y(t) y(t) x(t)

sentidos opuestos

el mismo sentido sentidos opuestos

Aplicaciones de la integral de línea P y Q con derivadas primeras continuas C

Teorema Fundamental de las Integrales de Línea: Sea C una curva suave definida por la función vectorial : [a ; b]→2 y f: D  2 → diferenciable en C, entonces Demostración: 1- Por definición de integral de línea 2- Por regla de la cadena: 3- Por definición de primitiva 4- Por regla de Barrow

NOTAS: 1- Este teorema es una herramienta para evaluar una integral de línea de un campo vectorial conservativo (campo vectorial gradiente de la función potencial f) tan sólo conociendo el valor de f en los puntos extremos de C (del punto inicial Pi y del punto final Pf). Es decir que la integral de línea de un campo de gradiente es independiente de la trayectoria. 2- Al mismo tiempo nos está diciendo que la integral de línea de es el cambio total de f : 3- Corolario del teorema: Es decir que la integral de línea de un campo de gradiente sobre una curva cerrada da 0 (pues Pi = Pf)

Criterio para decidir si un campo vectorial es conservativo

Ec(X) –Ec(A)= -U(X)+U(A)

Otro problema que resuelva la integral §4.- Longitud de un arco de curva *Dada una curva plana C, deseamos calcular la longitud de C ¿Existe algún caso cuyo cálculo conocemos? Sí, los segmentos de recta. a b x y C A B x1 x2 x y r P Q y2 y1 y x 33

Ci a b x y C A B Luego: ri

Por hipótesis : Ci yi C = graf f x i ri A y yi yi-1 B a x i -1 x i b x x i

y C3 P2 P3 C2 C4 P1 B P4 C1 A Po a b x

a b x y A B P1 Po P2 P3 P4 C1 C2 C3 C4

a b x y A B P1 Po P2 P3 P4 C1 C2 C3 C4 y2 x2 x1 x2 x3 x4

g(ci ) q.e.d. (Caso 1)

x = x ( t ) t  [ c ; d ] y = y ( t ) g(t)

Por hipótesis: f continua en [a;b]; derivable en (a; b); luego, que dice… y Ci yi yi C = graf f yi-1 x i B A a x i -1 ci x i b x

g(ci ) Teo Lagrange Si g es la función definida por g (x) = entonces g (ci ) = Observación: por “hipótesis” f y f´ son continuas en [a; b]  g es continua en [a ; b] O sea, g es “integrable” en [a; b] 43