Curso de Matemática Propedeútica Año académico 2008 MSc. Ing. Julio Rito Vargas Avilés 15-ene-2008

1 1 1 = 6 2 2 2 = 6 3 3 3 = 6 4 4 4 = 6 5 5 5 = 6 6 6 6 = 6 7 7 7 = 6 8 8 8 = 6 9 9 9 = 6

(1 + 1 + 1) ! = 6 2 + 2 + 2 = 6 3 x 3 - 3 = 6 √4 + √4 + √4 = 6 5 ≠ 5 + 5 = 6 + 6 - 6 = 6 -7 ÷ 7 + 7 = 6 3√8 + 3√8 + 3√8 = 6 √9 x √9 - √9 = 6

Lógica matemática. La lógica matemática sirve de fundamento al razonamiento matemático, evitando ambigüedades y contradicciones mediante la determinación absolutamente precisa y rigurosa de lo que es un razonamiento matemático válido.

Proposición Una proposición es una oración que es verdadera o falsa, pero no es verdadera y falsa a la vez. Simbólicamente: p: 2 + 2 = 4 q: El cinco es un número primo r: Estelí es la capital de Nicaragua s: √4 + 5 = 9

Proposición Lo que no es una proposición. Qué hora es? Lee esto con atención. x + 1 = 2 x + y = z

Proposición La negación de una proposición es otra proposición, llamada la negación de p. Simbólicamente: ¬p ~p Ejemplo: p: 12 + 33 = 39 ¬p: 12 + 33 ≠ 39

Proposición Tabla de verdad para la negación de una proposición. p ¬p f p ¬p 1

Proposiciones compuestas Son dos o más proposiciones simples unidas por medio de operador lógico. : operador de la conjunción (léase “y”) : operador de disyunción incluyente (“o”) : operador condicional (“si…entonces…”) : operador bicondicional (“p si y sólo q ”) : operador de disyunción excluyente (“o”)

La Conjunción Sean p y q proposiciones. La proposición p ^ q, es la proposición que es verdadera cuando tanto p como q son verdaderas y falsa en cualquier otro caso. fórmula 2n n= número de proposiciones. p q p^q v f

La Disyunción inclusiva Sean p y q proposiciones. La proposición p v q, es la proposición que solo es falsa cuando tanto p como q son falsas. fórmula 2n n= número de proposiciones. p q p v q v f

La Disyunción excluyente Sean p y q proposiciones. La proposición p q, es la proposición que solo es verdadera cuando tanto p como q son falsas. fórmula 2n n= número de proposiciones. p q p q v f

La Implicación Sean p y q proposiciones. La proposición p q, es la proposición que solo es falsa cuando p es verdadero y q es falso. fórmula 2n n= número de proposiciones. p q p q v f

La Doble implicación Sean p y q proposiciones. La proposición p q, es la proposición que solo es verdadera cuando tanto p como q tienen el mismo valor de verdad. fórmula 2n n= número de proposiciones. p q p q v f

Resumen

Verificación de Aprendizajes

Prueba Escribir las correspondientes sentencias lógicas para las siguientes frases: Una relación es una relación de equivalencia si y sólo si es reflexiva, simétrica y transitiva. p: R es relación de equivalencia r: R es reflexiva s: R es simétrica t: R es transitiva p  r  s  t Si la humedad es alta, lloverá esta tarde o esta noche. p: la humedad es alta q: lloverá esta tarde r: lloverá esta noche p  q  r

Prueba El cáncer no se cura al menos se determine su causa y se encuentre un nuevo fármaco. p: el cáncer se cura q: se encuentra su causa r: se encuentra un nuevo fármaco p  q  r Se requiere valor y preparación para escalar esta montaña. p: se requiere valor q: se requiere preparación r: escalar la montaña r  q  p

Prueba Si es un hombre que hace una campaña dura, probablemente será elegido. p: hace campaña dura q: será elegido ( p  q )  ( p  q )

Prueba

Prueba

Prueba DEMOSTRAR QUE ES UNA CONTRADICCIÓN

Prueba DEMOSTRAR QUE

Inferencia lógica Doble negación: de una premisa p puede concluirse su doble negación y viceversa. Simplificación: De una conjunción puede concluirse cualquiera de las proposiciones que la componen.

Inferencia lógica Adición: De una proposición p, tomada como premisa, puede concluirse la disyunción de la misma con cualquier otra proposición. Modus Ponendo Ponens(MPP): De una fórmula condicional y la afirmación de su antecedente como premisas, puede concluirse la afirmación del consecuente.

Inferencia lógica Modus Tolendo Tollens(MTT): De una fórmula condicional y la negación de su consecuente como premisas, puede concluirse la negación del antecendente. Modus Tolendo Ponens(MTP):De una disyunción y la negación de uno de sus miembros como premisas, puede concluirse la afirmación la afirmación del otro miembro.

Inferencia lógica Distributiva: La conjunción de una proposición y una fórmula disyuntiva puede transformarse en la disyunción de dos conjunciones. Distributiva: La disyunción de una proposición y una fórmula conjuntiva puede transformarse en la conjunción dos conjunciones disyunciones.

Inferencia lógica D´Morgan: Una conjunción puede transformarse en una disyunción en la cual se niega las proposiciones integrantes y se niega la totalidad de la fórmula. D´Morgan: Una disyunción puede transformarse en una conjunción en la cual se niega las proposiciones integrantes y se niega la totalidad de la fórmula.

Resolver

A partir de las reglas de inferencia demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia: 1) p v  q 2) p v r 3) q  r 4 ) De 1 y 3 resulta p (MTP) 5) De 2 y 4 resulta r (MTP)

A partir de las reglas de inferencia demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia: 1)  p v r v q 2)  r 3) q  p 4 ) r v (p v q) expresando (1) por ley asociativa De 4 y 2 resulta (p v q) (MTP) De 5 y 3 resulta p (MTP)

A partir de las reglas de inferencia demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia: 2) q v p 3) q  f 4 ) De 2 y 1 resulta q (MTP) De De 4 y 3 resulta f (ley negación)

A partir de las reglas de inferencia demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia: 1) ( p  q )  r 2) r  s 3) q   s   p 4 ) De 3 resulta  s (por Simplificación) 5 ) De 2 y 4 resulta r (por MTT) De 1 y 5 resulta  (p  q) (MTT) De 6 resulta  p v  q Ley DeMorgan De 7 resulta  p (Simplificación disyunción)

Ejemplos Sean: p: Pablo es extraño q: A Pablo le gustan leer libros de matemáticas. Exprese cada una de las proposiciones en el lenguaje ordinario: ¬p ^ q : p ^ q : ¬(p ^ q): p v ¬ q: ¬p v ¬ q:

Ejemplos Sean: p: Pablo es extraño q: A Pablo le gustan leer libros de matemáticas. Exprese cada una de las proposiciones en el lenguaje ordinario: ¬p ^ q : p ^ q : ¬(p ^ q): p v ¬ q: ¬p v ¬ q: p → q : p ↔ q :

Ejemplos Sean: p: Pablo es extraño q: A Pablo le gustan leer libros de matemáticas. Exprese cada una de las proposiciones en el lenguaje ordinario: ¬p ^ q : Pablo no es extraño y le gusta leer libros de matemática. p ^ q : Pablo es extraño y le gusta leer libros de matemática. ¬(p ^ q): No es cierto que Pablo es estraño y le guste leer libros de p v ¬ q: Pablo es extraño o no le gusta leer libros de matemáticas. ¬p v ¬ q: Pablo no es extraño o no le gusta leer libros de matemática p → q : Si Pablo es extraño entonces le gusta leer libros de mat. p ↔ q : Pablo es extraño si y solo si le gusta leer libros de mat.

Ejemplos Sean: r: La humanidad contamina el medio ambiente. s: La humanidad sobrevivirá. Si r es verdadera y s es falsa. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: (r٨s) v¬s : ¬r v ¬s : r ٨ ¬s : ¬r v s : r → s : r ↔ s :

Ejemplo Determine el valor de verdad de ¬(p٨q)٨[(pvq)٨q] p q (p٨q)

Equivalencias lógicas p ٨ V ≡ p p v F ≡ p Leyes de identidad p v V ≡ V p ٨ F ≡ F Leyes de denominación p v p ≡ p p ٨ p ≡ p Leyes idempotencias p v q ≡ q v p p ٨ q ≡ q ٨ p Leyes conmutativas ¬(¬p) ≡ p Ley de la doble negación

Equivalencias lógicas (p v q) v r ≡ p v (q v r) (p ٨ q) ٨ r ≡ p ٨ (q ٨ r) Leyes asociativas p v (q ٨ r) ≡( p v q)٨(p v r) p ٨ (q v r) ≡( p ٨ q)v(p ٨ r) Leyes distributivas ¬(p v q) ≡ ¬p ٨ ¬ q ¬(p ٨ q) ≡ ¬p v ¬ q Leyes de De Morgan p v (p ٨ q) ≡ p p ٨ (p v q) ≡ p Leyes de absorción (p v ¬p) ≡ V (p ٨ ¬p) ≡ F Ley de negación

Equivalencias lógicas p → q ≡ ¬p v q p → q ≡ ¬q → p p v q ≡ ¬p → q p ٨ q ≡ ¬(p →¬q) ¬(p →q) ≡ p ٨ ¬q (p → q)٨ (p → r) ≡ (p → (q ٨ r) (p → r)٨ (q → r) ≡ (p v q) → r (p → q) v (p → r) ≡ p → (q v r) (p → r) v (q → r) ≡ (p ٨ q) → r

Equivalencias lógicas p ↔ q ≡ (p → q)٨ (q → p) p ↔ q ≡ ¬p ↔ ¬q p ↔ q ≡ (p ٨ q) v (¬p ٨ ¬q) ¬(p ↔ q) ≡ p ↔ ¬q

Ejemplo 1 Muestre que (p ٨ q) → (p v q) es una tautología. Demostración: ¬(p v (¬p ٨ q)) ≡ ¬p ٨ ¬(¬p ٨ q) Ley de DeMorgan ≡ ¬p ٨ [¬(¬p) v ¬q] “ “ ≡ ¬p ٨ [p v ¬q] Ley doble neg. ≡ (¬p ٨ p) v (¬p ٨ ¬q) Ley distrib. ≡ F v (¬p ٨ ¬q) Ley negación ≡ ¬p ٨ ¬q Ley de Indentidad

Ejemplo 1 Justifica que las proposiciones ¬(p v (¬p ٨ q)) y ¬p ٨ ¬q son lógicamente equivalentes. Demostración: ¬(p v (¬p ٨ q)) ≡ ¬p ٨ ¬(¬p ٨ q) Ley de DeMorgan ≡ ¬p ٨ [¬(¬p) v ¬q] “ “ ≡ ¬p ٨ [p v ¬q] Ley doble neg. ≡ (¬p ٨ p) v (¬p ٨ ¬q) Ley distrib. ≡ F v (¬p ٨ ¬q) Ley negación ≡ ¬p ٨ ¬q Ley de Indentidad

Ejemplo 2 Muestre que (p ٨ q) → (p v q) es una tautología. Demostración: (p ٨ q) → (p v q) ≡ ¬(p ٨ q) v (pvq) por equiv. ≡ (¬p v ¬q)v(pvq) DeMorgan ≡ (¬p v p) v (q v ¬q) Conm yAsoc. ≡ V v V Leyes de negación ≡ V regla disyunción

Predicados y Cuantificadores

Predicados y Cuantificadores P(x) : función proposicional Ejemplo: P(x) : (x+1) ≥ x Notación: léase, para todo x P(x), para cada x P(x), o para cualquier x P(x). Q(x): x ≤ 4

Predicados y Cuantificadores Todo A es B su negación es Algún A no es B. Ningún A es B su negación es Algún A es B.

Predicados y Cuantificadores

Predicados y Cuantificadores

Predicados y Cuantificadores