ÁLGEBRA

DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA El Álgebra es una rama de las matemáticas que emplea números, letras y signos para hacer referencia a las distintas operaciones aritméticas que se realizan.

CONCEPTO DE ÁLGEBRA A diferencia de la aritmética, en el álgebra se sustituyen los números por símbolos. El uso de símbolos permite: 1. Formular más fácilmente las leyes generales de aritmética, por ejemplo a+b = b+a, 2. Referirse a números desconocidos, formular ecuaciones y estudiar cómo resolverlas, 3. Formular relaciones funcionales más claras.

CARACTERÍSTICAS DEL LENGUAJE ALGEBRAICO Los elementos desconocidos o que no tienen un valor fijo se representan mediante letras, y se conocen como variables. Los elementos que tienen un valor completamente determinado se expresan con números, y se denominan constantes. Si dos números pueden ser diferentes en un enunciado, es necesario usar una letra distinta para cada uno. Por tanto, cuando una letra aparece repetida en un mismo enunciado, se entiende que hace referencia al mismo número. Las relaciones entre números y variables se expresan mediante operaciones matemáticas.

LEYES DE OPERACIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Monomio: Es la representación algebraica más elemental y sus componentes son: signo, coeficiente, literal y exponente. Binomio: Es una expresión algebraica que consta de dos términos, por ejemplo: 2xy+3z. Aquí 2xy es el primer término, y el segundo es 3z. Polinomio: Un polinomio es la suma de monomios. Ejemplo: 3x2-2x+1

SUMA Es la operación que tiene por objetivo reunir dos o más expresiones algebraicas en una sola expresión llamada suma o adición. Se dice que la operación está completa si todos los términos semejantes entre los sumandos, han sido simplificados totalmente. Propiedades de la suma: 1. Unicidad: La suma de dos o más números es única. Ejemplo: siempre es Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma, por ejemplo: 3 + 8= 8 + 3= Asociativa: En la suma de tres o más números los sumandos pueden agruparse de cualquier modo, obteniendo el mismo resultado: 6+4+8= (6+4)+8= 6+(4+8)= (6+4)+8=18 4. Aditiva del cero: Al sumar cero con cualquier número se obtiene el mismo número. Por ejemplo: = 120.

SUSTRACCIÓN O RESTA La resta algebraica se realiza entre los términos semejantes. Los elementos de la resta son: sustraendo, minuendo, y diferencia o resto.

SUSTRACCIÓN O RESTA Regla general: La sustracción o resta se obtiene al cambiar el signo de los elementos del sustraendo y después sumar algebraicamente todos los términos. Por ejemplo: Para restar x 2 +5x-3y 2 a 3x 2 -8x+4xy-5y 2, se escribe: 3x 2 -8x+4xy-5y 2 +(-x 2 -5x+3y 2 ) Al cambiar el signo a todos los elementos de x 2 +5x-3y 2, y aplicando la ley de los signos, se continúa con una suma algebraica Propiedades de la resta: El opuesto o inverso aditivo de un número es el mismo número, tomado con el signo contrario al que originalmente presenta. Ejemplo: el opuesto de 5 es -5.

MULTIPLICACIÓN Multiplicación de dos monomios: Se llama multiplicación de monomios de un solo término por otro término. Se multiplica el término del multiplicando por el término del multiplicador. Se suman los exponentes de las literales iguales Se escriben las literales diferentes en un solo término resultado Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los signos:

MULTIPLICACIÓN Multiplicación de dos polinomios: En esta operación se debe de multiplicar cada uno de los monomios de un polinomio por todos los monomios del otro polinomio, por ejemplo: (2x 2 -3) * (2x 3 -3x 2 +4x) = (2x 2 *2x 3 ) + (2x 2 *-3x 2 ) + (2x 2 *4x) + (-3*2x 3 ) + (-3*-3x 2 ) + (-3*4x) = 4x 5 -6x 4 +8x 3 -6x 3 +9x 2 -12x

DIVISIÓN División de dos monomios: Como en la multiplicación, se aplica la regla de los signos. Con respecto a los demás elementos, las reglas son las siguientes: se dividen los coeficientes, en cuanto a las literales: si alguna está tanto en el numerador como en el denominador, se resta el exponente de la literal del denominador al numerador. Ejemplo: Dividir 9x 3 y 2 entre 3x 2 w = 3xy 2 / w

DIVISIÓN División entre polinomios: Se deben de seguir los siguientes pasos: Se ordenan los polinomios de manera descendente. Se divide el primer término del dividendo entre el primer miembro del divisor. Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo del dividendo y se resta del dividendo. El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo parcial entre el primer término del divisor. Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo del dividendo parcial y se resta del dividendo parcial. Se continúa de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial.

DIVISIÓN División entre polinomios: Ejemplo: Dividir 3x 2 +2x-8 entre x+2 3x 2 + 2x – 8 x (3x 2 + 6x) 3x x – 8 - (- 4x - 8) 0

LEYES DE LOS EXPONENTES DESCRIPCIÓNPROPIEDADOPERATORIAEJEMPLO Potencia de exponente 1a 1 = aExponente 1 no se escribe7 = 7 1 Potencia de exponente 0a 0 = 1 si a ≠ 0 Toda potencia de exponente 0 es igual a = 1 Multiplicación de potencias de igual base a x * a y = a x+y Se conserva la base y se suman los exponentes 6 2 * 6 1 = = 6 5 División de potencias de igual base a x : a y = a x-y Se conserva la base y se restan los exponentes 5 7 : 5 3 = = 5 4 Multiplicación de potencias de igual exponente a x * b x = (a*b) x Se conserva el exponente y se multiplican las bases 6 2 * 3 2 = (6*3) 2 División de potencias de igual exponente a x : b x = (a:b) x Se conserva el exponente y se dividen las bases 8 5 : 2 5 = (8:2) 5 Potencia de una potencia (a x ) y = a x*y Se conserva la base y se multiplican los exponentes (4 3 ) 2 = 4 3*2 = 4 6

RADICALES Los radicales indican la operación inversa a la que indican las potencias o exponentes.Leyes: Potencia de un radical: La potencia pasa a ser exponente del radicando y se convierte en fracción, el índice será el denominador y el exponente el numerados. ( ⁿ √x)= ⁿ √x Producto de radicales con un mismo índice radical: El índice se conserva y los radicandos se multiplican. ⁿ √x. ⁿ √y = ⁿ √x.y División de radicales con un mismo índice radical: El índice se conserva y los radicandos se dividen. ⁿ √x/ ⁿ √y = ⁿ √x/y Raíz de raíces: El radicando se conserva y los índices se multiplican. √ ⁿ √x=˙ ⁿ √x

RADICALES