Introducción al método de los elementos finitos M.Pastor, Thomas Blanc ETS de Ingenieros de Caminos Madrid (Spain) Dropbox: Instalar:

1. Introducción 2. Conceptos previos 3. Aproximación de funciones 4. Obtención de las ecuaciones del MEF 5. Ensamblado 6. Resolución del sistema. Condiciones de contorno

Qué es el MEF? 1. Introducción Estructuras Mecánica de sólidos deformables Dinámica de fluídos Método numérico de resolución de EDPs Cine !!! Ejemplos Puertos Avalanchas Ondas en barras

En qué consiste? 1) Aproximación de funciones definidas localmente 2) Obtención de las ecuaciones Trabajos virtuales Galerkin- Formulaciones débiles Principios variacionales 3) Ensamblado 4) Resolución del sistema de ecuaciones 1. Introducción

2. Ejemplo sencillo: conceptos previos 12 Conceptos previos 1) Tensión 2) Deformación unitaria 3) Ley de Hooke 4) Campo de desplazamientos

2. Ejemplo sencillo Conceptos previos 1) Tensión 2) Deformación unitaria 3) Ley de Hooke 4) Campo de desplazamientos a) Qué barra se alarga más b1 o b2 ? b2 se alarga el doble que b1 lo importante no es F, sino F/A Barras de igual L y diferente A se alargan lo mismo si en ellas F/A es igual b) Definición de tensión

2. Ejemplo sencillo Conceptos previos 1) Tensión 2) Deformación unitaria 3) Ley de Hooke 4) Campo de desplazamientos a) Qué barra se alarga más b1 o b2 ? b1 se alarga el doble que b2 lo importante no es L, sino Barras de distinta L y se alargan lo mismo si en ellas la tensión es igual b) Definición de deformación unitaria

2. Ejemplo sencillo Conceptos previos 1) Tensión 2) Deformación unitaria 3) Ley de Hooke 4) Campo de desplazamientos Sin deformar deformada a) Campo de desplazamientos u(x) b) Deformaciones unitarias

2. Ejemplo sencillo 1) Tensión 2) Deformación unitaria 3) Ley de Hooke 4) Campo de desplazamientos Recapitulación Conceptos previos 1) Tensión 2) Deformación unitaria 3) Ley de Hooke 4) Campo de desplazamientos

2. Ejemplo sencillo tensión en una sección

2. Ejemplo sencillo tensión en una sección Rebanada

2. Ejemplo sencillo equilibrio en rebanada

2. Ejemplo sencillo formulación del problema Balance de momento lineal Ecuación constitutiva Relación cinemática

2. Ejemplo sencillo formulación del problema Condiciones de contorno Nota Es una EDO Versión 1D de una EDPs elíptica

2. Ejemplo sencillo solución del problema Condiciones de contorno Solución

e1e2en 12 n+1 (ej) 3. Aproximación de funciones concepto de nodos y elementos

j x j+1 x N 1 ej j+1 x j x N 2 ej 3. Aproximación de funciones funciones de forma

N 2 N 3 N Aproximación de funciones funciones de forma globales

Aproximación de funciones 12

4. Principio de trabajos virtuales sistema en equilibrio Aplicamos un desplazamiento virtual Trabajo virtual de fuerzas internas Trabajo virtual de fuerzas externas Principio de trbajos virtuales: para cualquier compatible con vínculos

4. Principio de trabajos virtuales 1 2

1 2

1 2

Problema a resolver Solución Resolvemos la ecuación 2 Resolvemos la ecuación 1

Ejemplo 2 (ensamblado) Discretización

Elemento 1

Elemento 2

12 3

12 3