Universidad Tecnológica de Panamá. Centro Regional de Panamá Oeste. Facultad de Ingeniería Civil. Matemática superior para ingenieros. Sistema de tiempos discreto, ecuaciones en diferencia. Presentado a: Prof. Deyanira Forero. Presentado por: Díaz, Edwin García, Michael González, Miguel Mora, Lenox Zúñiga, Yizeth. Grupo: 9IC-121

Introducción. En temas anteriores observamos las técnicas de la transformada de Laplace, primero como un método para resolver ecuaciones diferenciales, después de una manera de caracterizar un sistema de tiempo continuo. En esta ocasión el trabajo a desarrollar discutiremos la idea de un sistema lineal de tiempo discreto y su modelo, una ecuación en diferencias.

Un sistema en tiempo discreto es un operador matemático que transforma una señal en otra por medio de un grupo fijo de reglas y funciones. La notación T[.] es usado para representar un sistema general, tal como se muestra en la figura en el cual, una señal de entrada x(n) es transformada en una señal de salida y(n) a través de la transformación T[.]. Las propiedades de entrada-salida de cada sistema puede ser especificado en algún número de formas diferentes. En muchas aplicaciones del proceso de señal digital es necesario diseñar dispositivos o algoritmos que realicen operaciones sobre señales en tiempo discreto.

Áreas de aplicación.

Algunos ejemplos de sistemas discretos son: Radar Sonar Equipos biomédicos tales como: Tomógrafos Resonancia magnética Electrocardiógrafos, etc. Computadoras Equipos industriales Equipos militares, etc.

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 Sistemas discretos lineales. Un sistema es lineal (L) si satisface el principio de superposición, que engloba las propiedades de proporcionalidad o escalado y aditividad. Que sea proporcional significa que cuando la entrada de un sistema es multiplicada por un factor, la salida del sistema también será multiplicada por el mismo factor.

 Sistemas discretos invariante en el tiempo. Un sistema es invariante con el tiempo si su comportamiento y sus características son fijas. Esto significa que los parámetros del sistema no van cambiando a través del tiempo y que, por lo tanto, una misma entrada nos dará el mismo resultado en cualquier momento (ya sea ahora o después).

Representación de sistemas discretos mediante diagramas de bloques. Es de importancia introducir los conceptos de la representación de los sistemas en tiempo discreto mediante diagramas a bloques debido a que puede de alguna forma simplificar la tarea de implementación de dichos sistemas en esquemas computacionales. Con este fin se definirán algunos bloques básicos que pueden ser interconectados para formar sistemas complejos.

 Nodo Derivador de Señal: La Figura muestra como una señal x(n) puede ser derivada en dos líneas diferentes a través del nodo Derivador.

 Sumador: La Figura muestra un sistema que realiza la suma de dos señales X 1 (n) y X 2 (n) para formar otra secuencia (en suma) denotada por y(n).

 Escalado: Esta operación se muestra en la Figura ; consiste simplemente en aplicar un factor de escala a la entrada x(n).

 Multiplicador: La Figura muestra la multiplicación de dos señales, X1(n) y x2(n) para formar otra secuencia (en producto), que se denota en la figura por y(n).

 Retardador de Señal: El retardador de señal es un sistema especial que retrasa una posición la señal que pasa por él. La Figura 5 muestra este sistema. Si la señal de entrada es x(n), la salida es x (n – 1). De hecho, la muestra x (n – 1) se almacena en memoria en el instante n – 1 y se extrae de la memoria en el instante n para formar y(n) = x (n – 1), por tanto, el bloque básico si tiene memoria. El uso del símbolo z–1 para denotar el retardador de una muestra de la señal se entenderá al estudiar la transformada z.

 Adelantador de Señal: Al contrario que el retardador de señal, el adelantador de señal adelanta una muestra a la entrada x(n) en tiempo para producir x (n + 1). La Figura muestra esta operación, el operador z se usa para denotar el avance de una muestra en el tiempo. Debe observarse que dicho avance es imposible en tiempo real, dado que, de hecho, implica conocer el futuro de la señal. Por otra parte, si almacenamos la señal en un ordenador, se dispone de todas las muestras en cualquier momento. En aplicaciones de estas características, que no se desarrolla en tiempo real, es factible adelantar la señal x(n) en el tiempo.

Ecuación en diferencia.

Supongamos que la sucesión de observaciones {Xk } está siendo grabada y recibimos la observación Xk en el paso (tiempo) o índice k. Podríamos intentar a procesar (por ejemplo suavizar o filtrar) esta sucesión de observaciones { Xk } usando el sistema de retroalimentación de tiempo discreto ilustrado en la figura. En el tiempo K la observación Xk entra al sistema como una entrada y, después de mezclarse con la señal de “retroalimentación” en la unión de suma S, continua hacia el bloque D. Este bloque es un bloque de retardo unitario y su función es mantener su señal de entrada hasta que el “reloj” avance un paso, al paso K + 1. En este momento la señal de entrada sale sin alteraciones convirtiéndose en la señal Y k + 1, el miembro k + 1 de la sucesión de salida { Yk }.

Al mismo tiempo esta señal es regresada hacia atrás a través del bloque de escala de amplitud α(alfa) a la unión de la suma S. Este proceso es instantáneo y en S la señal de retroalimentación es restada de la siguiente entrada de observación de entrada X k + 1 para proveer la siguiente entrada al bloque de retardo D. El proceso se repite en cada paso del “reloj”.

Para analizar el sistema, sea {rk} la sucesión de señales de entrada a D; entonces debido a la acción de retardo de D, tenemos:

Ejemplos a desarrollar.