C 1 CINEMÁTICA Movimiento Mecánico. Bases para su estudio. Movimiento Mecánico. Bases para su estudio. Métodos vectorial, de coordenadas y natural. Métodos vectorial, de coordenadas y natural. Magnitudes cinemáticas. Magnitudes cinemáticas. Movimiento unidimensional. Movimiento unidimensional. Movimiento rectilíneo uniformemente variado. Movimiento rectilíneo uniforme. Movimiento rectilíneo uniformemente variado. Movimiento rectilíneo uniforme. Caída libre Caída libre Ejemplos Ejemplos Bibliog. Sears, Física Universitaria

Cinemática: Rama de la Mecánica que se dedica a la descripción del movimiento mecánico sin interesarse por las causas que lo provocan. Dinámica: Rama de la Mecánica que se dedica a investigar las causas que provocan el movimiento mecánico.

Movimiento Mecánico: Cambio de posición de un cuerpo respecto a otros, tomados como referencia. Carácter: Relativo Definir sistema bajo estudio Definir Sistema de Referencia (SR)

Bases para el estudio del movimiento mecánico Definición del Sistema de Referencia (SR) Definición del Sistema de Referencia (SR) Utilización de magnitudes físicas apropiadas y relaciones entre ellas. Utilización de magnitudes físicas apropiadas y relaciones entre ellas. Empleo de modelos para el sistema físico: Modelo de cuerpo rígido y Modelo de partícula. Empleo de modelos para el sistema físico: Modelo de cuerpo rígido y Modelo de partícula. Utilización del principio de independencia de los movimientos de Galileo así como del principio de superposición. Utilización del principio de independencia de los movimientos de Galileo así como del principio de superposición.

Principio de independencia de los movimientos de Galileo Cuando se tiene un Movimiento Compuesto, es decir, aquel donde se superponen dos movimientos simples, CADA UNO DE ELLOS SE REALIZA COMO SI EL OTRO NO EXISTIESE. a)De este modo, diremos que podemos tener dos movimientos rectilíneos uniformes actuando en un determinado caso, como por ejemplo, cuando un bote que va a determinada velocidad va a cruzar un rio cuya corriente tiene otra velocidad. Aquí podemos estudiar cada movimiento por separado y ello nos ayudará en su soluciónón. b) También hay movimiento compuesto cuando se lanza horizontalmente un cuerpo y éste empieza a caer, describiendo una trayectoria parabólica. Podemos estudiar por separado la caída libre vertical (MRUA) y el desplazamiento horizontal (MRU) teniendo en cuenta que ambos movimientos tienen en común EL TIEMPO.

Principio de superposición Si en una región del espacio existe más de un cuerpo cargado, al colocar en dicha región una nueva carga de prueba, la intensidad de la fuerza electrostática a la que esta carga se verá sometida será igual a la suma de la intensidad de las fuerzas que ejercerían de forma independiente sobre ella cada una de las cargas existentes. Expresado de forma matemática para un sistema de n cargas:

SR : Cuerpos que se toman como referencia para describir el movimiento del sistema bajo estudio. Bases para el estudio del movimiento mecánico x(t)y(t)z(t) Se le asocia Observador Observador Sistema de Coordenadas Sistema de Coordenadas y x z Reloj Reloj

Bases para el estudio del movimiento mecánico SRI : Es aquel para el cual el sistema bajo estudio en ausencia de la acción de otros cuerpos, se mueve con MRU.

Bases para el estudio del movimiento mecánico Magnitudes Físicas Cinemáticas Posición, Velocidad, Aceleración Dinámicas Fuerza, Torque

Bases para el estudio del movimiento mecánico Modelos de Partícula: el cuerpo puede ser considerado como un objeto puntual. de Cuerpo Rígido: Las distancias entre los diferentes puntos del cuerpo no varían.

Traslación pura

Rotación pura de cuerpo sólido Es aplicable el modelo del cuerpo rígido pero no el de partícula

Objetivo Determinación de las Leyes del Movimiento Posición (t), Velocidad (t), Aceleración (t) Describir el Movimiento mecánico

Métodos Vectorial ( conciso, elegante)Vectorial ( conciso, elegante) de Coordenadasde Coordenadas Mayor número de ecuaciones NaturalNatural Coordenadas curvilíneas Problemas de la cinemática Posición (t) Velocidad (t) Aceleración (t) P. Directo P. Inverso Cond. Iniciales

Vectorial

De Coord.

Natural

Metodología Identificar sistema físico Identificar sistema físico Selección del SRI (Ubicación del Observador) Selección del SRI (Ubicación del Observador) Selección del método o métodos (vectorial, de coordenadas o natural) Selección del método o métodos (vectorial, de coordenadas o natural) Resolver el problema directo (derivando) o el indirecto (integrando) o ambos: Hallar analíticamente la dependencia temporal de la posición, la velocidad y la aceleración; y Dibujar las gráficas Resolver el problema directo (derivando) o el indirecto (integrando) o ambos: Hallar analíticamente la dependencia temporal de la posición, la velocidad y la aceleración; y Dibujar las gráficas

y x t1t1 t2t2 A B r(t 1 ) r(t 2 ) r(t 1 ) Vector posición en el instante t 1 r(t 2 ) Vector posición en el instante t 2

Vector desplazamiento El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo [t 1, t 2 ] esta dado por: ¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para hallar el vector desplazamiento?

B t1t1 t2t2 No es necesario conocer la trayectoria para determinar el vector desplazamiento en el intervalo de tiempo deseado, solo es necesario conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo A

Vector velocidad media Se define el vector velocidad media en el intervalo de tiempo [t 1, t 2 ] como:

y x t1t1 t2t2 A B La velocidad media apunta en la misma dirección del vector desplazamiento

Y(m) x(m) t1t1 t2t2 Distancia total recorrida en el intervalo de tiempo [t 1, t 2 ]

Rapidez media La rapidez media es igual a la distancia total recorrida entre el tiempo total empleado La rapidez media no es un vector la rapidez media no es igual al modulo del vector velocidad media (para el mismo intervalo de tiempo)

t2t2 t'2t'2 t"2t"2 t1t1 B A Y(m) x(m) r1r1  r r2r2 r2'r2'  r ' r2"r2"  r "

t3t3 A Y(m) x(m) El vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria que describe la partícula t2t2 t1t1

La velocidad instantánea es la derivada del vector posición respecto del tiempo Velocidad instantánea

Esta expresión podemos expresarla en función de sus componente rectangulares

Rapidez instantánea Si t1t1 t2t2

Rapidez instantánea La rapidez instantánea es igual al modulo de la velocidad instantánea Al modulo de la velocidad instantánea se le conoce como rapidez instantánea

A Y(m) x(m) t2t2 t1t1

Aceleración media Se define la aceleración media como la rapidez de cambio de la velocidad instantánea en un determinado intervalo de tiempo

Y(m) x(m) La aceleración en este pequeño intervalo de tiempo apunta hacia la concavidad de la trayectoria t t1t1

La aceleración instantánea es igual a la derivada del vector velocidad instantánea respecto del tiempo t

Es la aceleración normal, responsable del cambio de dirección de la velocidad Es la aceleración tangencial responsable del cambio del modulo de la velocidad

Movimiento rectilíneo Movimiento circular uniforme

Expresado en componentes rectangulares

Resumen: Si se conoce la posición de la partícula con el tiempo r(t) podemos determinar su velocidad y aceleración instantánea por simple derivación Problema directo

Así mismo si se conoce la aceleración con el tiempo es posible encontrar la posición y la velocidad usando el camino inverso, es decir integrando: Son los vectores posición y velocidad en el instante t o Problema inverso

Ejemplo 1: Si el vector posición de una partícula esta dada por: Hallar: 1) el vector posición para t= 0 y 2 s 2)El vector desplazamiento en el intervalo [0,2]s 3) su velocidad media en el intervalo [0,2]s su velocidad instantánea en t = 0 y t=2 s 5) su aceleración media en el intervalo [0,2]s 6) su aceleración instantánea en t = 0 y 2s

Movimiento en una dimensión

Podemos aplicar lo discutido anteriormente al caso de una partícula moviendose en una sola dimensión, por ejemplo a lo largo del eje x

x Para el movimiento en el eje X las ecuaciones se reducen a:

Movimiento rectilíneo variado Movimiento rectilíneo acelerado v y a igual signo Movimiento rectilíneo retardado v y a signos opuestos

Velocidad instantánea x t O P Q’’ Q’ Q titi XiXi Línea tangente

X(t) t p Q R Velocidad instantánea

t titi tftf a > 0 a = 0 a < 0 Aceleración instantánea

t titi tftf En toda gráfica v versus t el área bajo la curva es igual al desplazamiento del móvil

Ejemplo 1: En la gráfica velocidad versus tiempo, haga un análisis del tipo de movimiento e indique en que tramos el movimiento es acelerado o desacelerado

t(s) V(t)

Diremos que un movimiento rectilíneo es uniforme variado si la aceleración del móvil permanece constante en todo momento. Supongamos que una partícula parte de la posición x o en el instante t 0 =0, con una velocidad v o

x t=0 Como a= cte. entonces dv/dt=a es fácil de integrar Velocidad instantánea Problema inverso

Podemos ahora determinar la posición de la partícula en cualquier instante de tiempo t

x t=0 Hallaremos ahora una expresión para determinar la velocidad media en el intervalo de tiempo [0, t]:

x t=0 Y usando las ecuaciones anteriormente deducidas

x t=0 Finalmente obtenemos

x t=0 También se puede demostrar: Donde : Es el desplazamiento en el intervalo de tiempo [0, t]

Resumen [0, t] [t 1, t 2 ] Despejando t en la 1ra y sustituyendo en la 2da, se obtiene la 3ra

Movimiento Uniformemente Acelerado      t t Pendiente = a xoxo x (t) t Pendiente = v 0 pendiente = v (t) O t a a Pendiente = 0 a

Movimiento Rectilíneo Uniforme MRU 0 0 0a V x t t t x0x0x0x0 V0V0V0V0 Movimiento Parabólico MRU Eje x MRUV Eje y

v0v0 -v 0 V =0 Haga click en la bolita verde

a v x tt t v0v0 -v 0 -g tvtv t v /2 tvtv H

Problema 7 Una partícula de 2 kg es lanzada verticalmente hacia arriba con una rapidez de 100 m/s, determine: a) El tiempo que permanece en el aire. b) Su posición en el instante t = 5 s. c) La altura máxima alcanzada. d) Su desplazamiento entre 5 y 15 s e) El tiempo que demora en cambiar la velocidad de 60 m/s a -60m/s