Espacio métrico 2º Bachillerato Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM)

Ángulo entre dos rectas El ángulo de dos rectas que se cortan es el menor de los ángulos que forman sus vectores direccionales. El ángulo de dos rectas que se cruzan es el ángulo formado por dos rectas secantes paralelas a las dadas.

cos ( Ù r , s ) = |aa' + bb' cc'| a b c a' b' c' Ángulo entre dos rectas: expresión analítica. Condiciones de perpendicularidad y paralelismo cos ( Ù r , s ) = |aa' + bb' cc'| a 2 b c a' b' c' Condición de perpendicularidad Condición de paralelismo

Ángulo entre dos planos Definición: El ángulo de dos planos secantes a y b es el menor de los ángulos diedros que determinan. Su medida coincide con el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la arista en un punto cualquiera.

cos ( Ù a , b ) = |AA' + BB' CC'| A B C A' B' C' Ángulo de dos planos: expresión analítica. Condiciones de perpendicularidad Si a y b son dos planos cualesquiera a: Ax + By + Cz + D = 0 y b: A'x + B'y + C'z + D' = 0. Entonces: cos ( Ù a , b ) = |AA' + BB' CC'| A 2 B C A' B' C' Condiciones de perpendicularidad Condiciones de paralelismo //β

Ángulo entre recta y plano Definición: El ángulo de una recta r y un plano a es igual al ángulo que forma la recta r con la proyección ortogonal, r', de r sobre a.

sen ( Ù r , a ) = |aA + bB cC | b c A B C Ángulo entre recta y plano: expresión analítica. Condiciones de perpendicularidad y paralelismo sen ( Ù r , a ) = |aA + bB cC | 2 b c A B C Condiciones de perpendicularidad Condiciones de paralelismo

1 2 P pertenece p r incluida p P no pertenece p r no incluida p Proyección ortogonal 1 2 Punto sobre plano Recta sobre plano P pertenece p r incluida p P no pertenece p r no incluida p

Distancia entre dos puntos • A(x1, y1, z1) • B(x2, y2, z2) La distancia entre dos puntos es el módulo del vector AB

Distancia entre punto y plano Dado P(x1, y1, z1) (un punto) y  (un plano), se define la distancia punto-plano, d(P, ), como la longitud del segmento PQ, en donde Q es la proyección ortogonal de P sobre el plano. Según la definición anterior: d(P, a) = d(P, Q) y si Aa(x0, y0, z0) ® A a P · n = Q + QP = 0

Distancia entre dos planos paralelos La distancia entre dos planos paralelos es igual a la distancia de un punto cualquiera de un plano al otro plano. d(a, b) = d(Pa, b) = d(Pb, a) (x1, y1, z1) d(Pa,b) = Ax+By+Cz+D=0 Como P cumple su ecuación Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0 A’x+B’y+C’z+D’=0

Distancia entre punto y recta Dado P (un punto) y r (una recta), se define la distancia punto recta, d(P, r), como la longitud del segmento PQ, en donde Q es la proyección ortogonal de Q sobre la recta. Según la definición anterior: d(P, r) = d(P, Q) (a, b, c) (xo, yo, zo) (x1, y1, z1) = 0 

Distancia entre dos rectas paralelas La distancia entre dos rectas paralelas es igual a la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra. s d(r, s) = d(Pr, s) = d(Qs, r)

Distancia entre dos rectas que se cruzan La distancia entre dos rectas r y s que se cruzan es la existente entre el plano paralelo a r que pasa por s y el plano paralelo a s que pasa por r. Partiendo de la figura d(r, s) = d(As, a)=d(Ar, b) Como sabemos que Y nos quedará: Esto nos da la altura del paralelepípedo (volumen/ área)

Perpendicular común (I) La perpendicular común a dos rectas no paralelas es la recta que corta ortogonalmente a cada una de ellas. p us  La recta p, perpendicular común, queda determinada por el corte de los planos a y b. s ur x us  As b us  Se observa que a (Ar, ur, ur x us) b (As, us, ur x us)  r a Ar ur 

Perpendicular común (II) s r p us vr Ps Pr La distancia entre las dos rectas, viene dada por la distancia entre los puntos Pr y Ps situados uno sobre cada una de las rectas y en la perpendicular común El punto Pr tendrá por coordenadas genéricas las correspondientes a las ecuaciones paramétricas de la recta r: Pr = (x1 + t u1, y1 + t u2, z1 + t u3) Análogamente las coordenadas del punto de Ps serán: Ps = (x2 + s v1, y2 +s v2, z2 + s v3) El vector PrPs es ortogonal a los vectores u y v, luego Se obtiene así un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas t y s que permiten conocer los puntos y luego su distancia. A partir de ellos se puede escribir la ecuación de la perpendicular común.

Áreas de paralelogramos y triángulos S(ABCD) = | AB x AC |  Triángulos  S(ABC) = |AB x AC| 1 2

Volumen de paralelepípedos y tetraedros V = |det (AB, AC, AD)|  Tetraedro Por ser una pirámide: V = (1/3) · base · altura 1 2 Base = S(ABC) = |AB x AC|   Altura = h = |AD| cos(AD, h) Por tanto:  V= |AD · (AB x AC)| = |det (AB, AC, AD)| 1 6