Matemáticas Computacionales Prof. Luis Eduardo Falcón ITESM Campus Guadalajara

Descartes - Leibniz – Newton ( s. XVII ) Boole, Cantor, Frege, De Morgan y Peano (finales del s. XIX) Hilbert (principios del s. XX ) Aristóteles – Euclides ( IV a.C.) Lógica Computacional ( 1940 – ) Zenón de Elea ( V a. C. ) Russell – Whitehead ( 1910 –1913) Lobachevski ( s. XIX ) Gödel ( 1930 ) No hay contradicciones Formalistas Platónicos Constructivistas Dada una proposición debo saber si será demostrable Consistencia Decibilidad Completitud Toda proposición V será axioma o bien deducible

Los egipcios y babilonios fueron grandes ingenieros, pero no se hacían preguntas sobre la trascendencia de las herramientas matemáticas utilizadas.

de buscar explicaciones a lo que sucede en la Tierra, Todo es agua Los griegos son los primeros que tratan de buscar explicaciones a lo que sucede en la Tierra, aunque buscando las respuestas en los cielos. Thales de Mileto s. VII-VI a.C. Los terremotos son consecuencia de que la Tierra descansa sobre un mar infinito.

Pitágoras es el primero que le da un puesto privilegiado a las Matemáticas, para explicar todo lo que sucede en el Universo. Pitágoras s.VI-V a. C.

con el fin de explicarlas darán pauta al desarrollo Zenón de Elea nos hereda sus 4 Paradojas que durante 7 siglos y con el fin de explicarlas darán pauta al desarrollo de la ciencia y el nacimiento de diversas ramas de ella. Zenón de Elea s.V

Sócrates (de verde) --- Platón --- Aristóteles Hypatia (de blanco) La Escuela de Atenas Sócrates (de verde) --- Platón --- Aristóteles Hypatia (de blanco) Pitágoras --- Arquímedes ----

La Matemáticas y la Física son las dos ramas científicas que en el s. XVII tienen el mayor formalismo de entre todas las ramas de la ciencia. En el siglo XVII se trata de buscar la que pueda se la madre de todas las ciencias en la Física y en la fusión de las diversas ramas que hasta entonces se conocían de las matemáticas. Rene Descartes Issac Newton Leibniz

Geometrías No-euclideanas Lobachevsky primera mitad s. XIX

Segunda mitad del Siglo XIX G. Boole G. Cantor D. Hilbert A. De Morgan G. Peano

Finales s. XIX y principios del s. XX A. N. Whitehead G. Frege B. Russell

Principia Mathematica de Whitehead & Russell Página del Principia Mathematica de Whitehead & Russell donde ya podrá demostrarse que 1+1=2, después de 360 páginas!!

Gödel Albert Einstein

¿Qué son las Matemáticas? Formalistas Platónicos Constructivistas

hacer matemáticas por las matemáticas mismas Formalistas: Conjunto de teoremas que pueden crearse de cualquier conjunto de axiomas iniciales, manipulando los símbolos implicados de acuerdo con reglas específicas. En esta visión las matemáticas no tienen porqué dar ninguna explicación o justificación del mundo real, son un simple juego bajo ciertas reglas: hacer matemáticas por las matemáticas mismas

Aunque a los matemáticos el estudio y éxito de las matemáticas se justifica por su belleza misma, es común juzgarla por su utilidad, ya que sus conceptos y técnicas son inmensamente útiles para resolver problemas del mundo real.

Platónicos: Los números primos existen en el Universo. Por ello pueden utilizarse como lenguaje universal, como en la película Contacto con Jodie Foster Lenguaje universal en el cual a través de un conjunto de axiomas y reglas se descubren los teoremas matemáticos. En esta visión el mundo es matemático y por lo tanto los conceptos matemáticos ya existen y serán descubiertos, no inventados, por los matemáticos.

¿Cómo es posible que las matemáticas, siendo después de todo un producto del pensamiento humano independiente de la existencia, se adapten de forma tan admirable a los objetos de la realidad? Albert Einstein

En este modelo el concepto de infinito no existe. Constructivistas: Colección de proposiciones que pueden construirse en un número finito de pasos deductivos a partir de los números naturales. En esta visión una fórmula matemática es simplemente la cadena finita de cálculos que se ha seguido para construirla. Ahora el estatus de cualquier proposición es triple: verdadera, falsa o indecidible. En este modelo el concepto de infinito no existe.

Sistema Matemático Conjunto de axiomas, y teoremas que pueden deducirse lógicamente de los axiomas.

En ellas reside y se mide el éxito de las matemáticas ... deducciones lógicas ... En ellas reside y se mide el éxito de las matemáticas

LÓGICA

¿Qué es entonces la Lógica? Determinación metodológica de la verdad o falsedad de sentencias (objetivos) a partir de otras consideradas de antemano verdaderas (axiomas o premisas), utilizando para ello procedimientos válidos (reglas de inferencia) para el contexto de que se trate.

Matemáticas Discretas Continuas Conjunto base: Enteros Conjunto base: Reales

Alan Turing, Emil Post, Alonzo Church Máquina de Turing Alan Turing, Emil Post, Alonzo Church Computadora que en principio puede alimentarse con ciertos datos de entrada y que posee un procesador que tras una serie de pasos finitos puede decidir si una proposición decidible es verdadera o falsa. Sin embargo, existen proposiciones cuyo tiempo necesario para decidir su veracidad con la máquina de Turing es infinito

Operaciones No Computables Operaciones que una máquina de Turing no puede ejecutar en un tiempo finito. Si una operación es computable, ello significa que puede construirse un dispositivo material cuyo comportamiento imite a dicha operación: IA Las leyes de la naturaleza, ¿contienen elementos no computables o cuya computabilidad requiera millones de años en llevarse a cabo?

Etimología: del griego logiké: relativo a la razón. Aproximaciones para una definición de LÓGICA: Etimología: del griego logiké: relativo a la razón. Disciplina que estudia los principios formales del conocimiento humano. Es decir, las formas y las leyes más generales del pensamiento humano considerado puramente en sí mismo, sin referencia a los objetos. [Diccionario General de la Lengua Española Vox-Larousse: http://www.diccionarios.com/]

Disciplina que se aboca al estudio de las proposiciones y su uso en las argumentaciones. Ciencia que estudia los principios y criterios de validez de las inferencias y demostraciones. Ciencia que estudia los principios formales del razonamiento. Enciclopedia Británica en línea: http://www.eb.com/

http://www.kubrick2001.com/