Límite de una sucesión
Leyenda del ajedrez Una leyenda cuenta que el inventor del ajedrez presentó su invento a un príncipe de la India. El príncipe quedó tan impresionado que quiso premiarle generosamente, para lo cual le dijo: "Pídeme lo que quieras, que te lo daré". El inventor del ajedrez formuló su petición del modo siguiente: "Deseo que me entregues un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, dieciseis por la quinta, y así sucesivamente hasta la casilla 64".
Leyenda del ajedrez La sorpresa fue cuando el secretario del príncipe calculó la cantidad de trigo que representaba la petición del inventor, porque toda la Tierra sembrada de trigo era insuficiente para obtener el trigo que pedía el inventor. ¿Cuántos trigo pedía aproximadamente?
Leyenda del ajedrez Se trata de hacer la suma 1 + 2 + 22 + 23…+264 Sólo la última cifra, 2 a la 64 potencia, es 18.446.744.073.709.551.615, es decir más de 18 trillones de granos. Esto nos denota que la sucesión an = 2n es una sucesión cuyo límite es infinito (no deja de crecer). ¿Esto ocurrirá con todas las sucesiones?
Límite de una sucesión Definición: El límite de una sucesión es el numero al que tiende cuando n toma valores cada vez mayores. Este valor puede ser un número (que llamaremos l) o también puede ser +∞ ó -∞. Se escribe
Con la calculadora Calculemos Para ello pondremos la calculadora en mode 3 (tabla). Insertamos y la tecla = Ahora debemos indicar donde empieza y donde termina la tabla: Start=1, End=10, Step=1.
Con la calculadora Hemos obtenido la siguiente tabla: x f(x) 1 0,5 2 0,8 3 4 1,1428 5 1,25 6 1,3333 7 1,4 8 1,4545 9 1,5 10 1,5384 Hemos obtenido la siguiente tabla: ¿Notas alguna tendencia? Con 10 términos no parece suficiente. Calcula el vigésimo, trigésimo y centésimo término e indica cuál es el límite de esta sucesión.
Gráficamente Esta es la gráfica de la tabla realizada con excel: ¿A qué valor tiende la sucesión?
Ejercicios Calcula los siguientes límites dando valores grandes y extrae conclusiones: